Re: [解題] 數列與級數
※ 引述《Light3000》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：
: 數列與級數
: 4.題目：
: 這是上課教學生時的疑惑,回家後不知道要怎樣解釋給學生才對@@
: 1+2+4+8+16+32+......=
: 設X 1+2+4+8+16+32......=X
: 又 1+2(1+2+4+8+...)...=X
: 1+2X=X
: X=-1
: 5.想法：
: 上課時我把收斂和發散解釋完後,跟學生說因為這是發散,所以不能這樣設
: (收斂就可以...ex:1+1/2+1/4+1/8......)
: 結果被反問說...那為什麼發散就不能這樣設?理由何在?
因為級數收斂定義為部份和極限為一個實數，而無窮大並不是實數（事實上，
無窮大被歸類為擴張的實數），故這個級數並不收斂到一個實數。
因為不收斂到一個實數，所以你不能假設這個級數的極限是一個實數 X。
簡而言之：極限≠實數但卻假設實數X ？顯然矛盾。
: 我只記得高中老師說過只有收斂才能設,可是忘記為什麼了@@
高中老師如果要將極限的精神嚴格說明，則必須介紹ε-δ法，但是據我所知，
連中一中都沒有這樣教。
況且，高中老師也不一定會知道極限的嚴格定義。（默）
只有在教某實驗中學的資優班學生的時候才有教XDD
: 再加上我查維基百科,裡面好像說有時確實-1也可是他的答案@@
這邊是說如果我們將無窮等比級數的公式硬套：
1
那麼就可以得到1+2+4+8+16+...=--------= -1
1-2
但是這個意義必須要特別說明，在複變函數論應該會提到。
: 我不知道該怎麼去跟學生討論這問題,就很混亂@@
: 感恩^^
: → tzhau:無窮大不是一個數而是一個概念 09/23 14:06
無窮大"是"一個"數"只是它不是"實數"。
正負無窮大與實數的聯集＝擴張的實數系。
: 推 doa2:無窮大-無窮大 = ? 無窮大不能用一般四則運算的想法去運算 09/23 14:51
無窮大與無窮大的四則運算屬於不定型，一般視為無意義或者未定義其值。
但是如果是無窮大與一般實數的四則運算，加上某些限制的話，可以在擴張的實數系
裡面得到答案。
: → Light3000:發散不代表無窮大吧@@...1-1+1-1+1-1+1-1...這好像發散 09/23 15:10
級數收斂代表部份和極限為一個實數。
上面這句話反過來說就是：
級數不收斂代表部份和極限不為一個實數或者極限不存在。
而不收斂簡稱發散。
例如推文中的級數如果加到奇數多個項，則極限為 1，但是如果加到偶數多個項，
則極限為 0，故在部份和數列裡面找到兩個子數列其極限不相等，得到部份和數列
極限不存在。
而推文所說發散不代表無窮大是對的。
: → Light3000:但應該不是無窮大@@... 09/23 15:10
: 放一下把我搞亂的文章T____T...但我也覺得內容很合理ORZ
: wiki 1+2+4+8+16+......
: http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
仔細看他有說在哪個地方應用，但絕對不是單純的實數體系下的級數收斂。
: wiki 發散級數
: http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8F%91%E6%95%A3%E7%BA%A7%E6%95%B0
: ※ 編輯: Light3000 來自: 140.114.123.189 (09/23 15:37)
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※ 編輯: nomorethings 來自: 220.132.215.18 (09/23 16:21)
推
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