Re: [解題] 數列與級數

看板tutor作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間16年前 (2009/09/26 16:40)推噓2(2推 0噓 8→)

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※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言： : ※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言： : : 標題: Re: [解題] 數列與級數 : : 時間: Fri Sep 25 17:20:00 2009 : : ◆ From: 140.112.30.55 : : 推 mayturl:我記的我大學教授跟我說過無窮大不能拿來做數學運算 09/25 19:44 : : → mayturl:所以設了X之後基本上後面的運算都是不合理的 09/25 19:45 : 這句話是對的，但是這樣原題不是這樣錯的。 : 這也是我為什麼畫蛇添足的發文的關係，這樣算法錯跟無限大不是直接原因！ : 如同 : 0.99999 ... = x : 9.99999 ... = y : 相減 9.999... - 0.9..... = 9 : 重點是在沒有一個定理或推論告訴我們 : 兩個無窮級數相減等於個別項的相減(*)，所以把兩項相減的時候，就錯了。 : 就算算出來答案是對的，是收斂的，也不對。 : (*) 因為定理是說兩個收斂無窮級數相減等於個別項的相減 : 在沒有證明、說明 0.9... 收斂且 9.9 ... 收斂的時候 : 就不能相減 ^^^^^^^^^^ 同意這句話 : 更有其他的例子 : 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 ... 是收斂的 : 但是你把他亂排之後就不一定收斂了，因為亂排不是對一般無窮級數合理的操作 : 我想強調的是錯的原因出在，對級數套用了不合法的操作而非先知答案是無限大 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 這才是原因 --- 我覺得這樣解釋怪怪的因為發散的冪級數本來就不會滿足極限的加減乘除等運算所以不論作何運算都是錯的例如以原po所出的例子 : 1 + 2 + 4 + 8 + .... = 1 + (2 + 4 + 8 + ...) 這步就有問題了因為: n k n k lim Σ 2 = lim { 1 + Σ 2 } n→∞ k=0 n→∞ k=1 n k = lim {1} + lim { Σ 2 } ____(1) n→∞ n→∞ k=1 極限有個定理告訴我們: lim {a_n + b_n} = lim {a_n} + lim {b_n} _____(2) n→∞ n→∞ n→∞ 成立條件是以上的極限值都要收斂 ∞ k 但很明顯 (1) 式的 Σ 2 發散 k=1 因此不能把 1+2+4+8... 拆成 1+(2+4+8+...) --- 至於 Lwms 大你舉的例子是合法的 _ n 9 9.9 = lim { Σ ____ } ---> 可證明該極限收斂 n→∞ k=0 10^k n 9 = lim { 9 + Σ ____ } n→∞ k=1 10^n n 9 = lim {9} + lim { Σ ____ } ____ by (2) n→∞ n→∞ k=1 10^n _ = 9 + 0.9 _ _ 即 9.9 - 0.9 = 9 若您想用個別項相減解釋也行交大微積分考古題有考一題計算與證明: ∞ n Let r1 and r2 be the radii of convergence of the series Σ a_n*x n=0 ∞ n and Σ b_n*x , respectively. What can you say about the radius n=0 ∞ n of convergence of Σ (a_n + b_n)*x ? Use proofs and ... n=0 這題答案應該是 r = min{ r1 , r2 } (它沒給解答＝＝) 　　證明用極限的概念應該就可以寫出來了　　若有了上面的 Lemma _ _ 9.9 與 0.9 皆落在收斂區間 |x|<1 (都是 x=1/10) _____ 因此 9.(9-9) 也會收斂 , 只要能說明該定義域上的點，有在新的收斂區間上 --------------------------------我是分隔線------------------------------------- 　　我在這裡歸納兩點: <1> 極限值 vs 函數值: 我覺得問題出在於高中很少強調這個定義: ∞ n lim S_n ≡ Σ a_k for S_n = Σ a_k n→∞ k=0 k=0 雖然一開始有提　　但接下來就引進無窮等比級數的公式: 1 1 + r + r^2 + ... = _____ for |r|<1 1 - r 　　很少會有高中老師去強調 : " 1/(1-r) 是極限值，而非函數值 " 例如我用 Lwms 大舉的例子: _ 0.9 = 1 正確的解釋是: 當小數點下的 9 寫的越多， "該值會越趨近於 1" _ 所以 0.9 = 1 ----> 這是指極限值為1 _ 那 0.9 的值是多少? 正確來說是未定義　　因為由極限定義可知　　極限值只看該點的鄰域，而非該點本身　　所以才有函數的連續與不連續的概念說這個是因為　　不少人把極限值當成函數值看待　　也就是 " 用值的運算　套用於　極限值的運算 " 但 " 未註明收斂 or 收斂區間 " 　　以前在數學上會有很多悖論　　部份就是涉及無窮的概念　　因此才有 limit 這個概念出現來解決這些 "似對非對" 的問題　　所以一旦涉及到無窮的概念　　數學家都已經幫我們解決好了　　套 lim 定義看就對了 :) <2> 極限值的意義: 說穿了就是看 "趨近程度為何" 例如以原po給的無窮級數　　雖然是發散級數　　但對某些在複數下 define 的無窮級數來說可能為了要讓某些區間可以 analytic 所以在套 lim 時會發現某些無窮級數有 "這個特性" 　　即使在實數系下為發散級數　　例如微基百科上舉的例子: 1 + 2 + 3 + 4 + .... = -1/12 實數系下討論此無窮級數，肯定是發散　　但對複數系來講可能有很多種答案　　那要如何去解讀此式子呢? (1) -1/12 是極限值，非值 ∞ -z (2) 在複數下朝某些方向逼近，會發現 Σ n*n 會越趨近於 -1/12 n=1 ∞ -z 即 lim { Σ n*n } = -1/12 z→0 n=1 z屬於 some curve C 我自己是沒學過這函數沒嘗試去推過該值是如何得到　　但由上面去解讀　　就會覺得這個無窮級數的極限值寫的 "很自然"　了 :) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (09/26 16:45)

推

Light3000

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Light3000

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doom8199

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