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討論串[微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
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以下是我個人的想法~有錯請指正~. 讓我們假設幾個應該大家都能接受的條件. 1. 有power series各種好的性質(收斂半徑內微分=逐項微分). 2. i=根號(-1). 3. e^x的各種等價定義(此處各種當然是不包含三角的定義). 4. 已知如何用微積分算曲線長度. 為表區別. 用單位圓訂
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不需要去連結，. 甚至也不要去在乎用ODE的知識，. 定義出來的 sin、cos 是不是跟高中的那套定義是不是等價。. 如果能同意以上的說法， sinx/x -> 1 (x->0) 用羅必達證明是很自然的事。. 為什麼不用去在意?. 就像是蓋兩棟房屋，. 使用不同的工法也是合情合理的事。. 至於後來
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我不知道我有沒有理解錯你的語意啦. 但我覺得我們要討論的都是f==sin, g==cos 這個問題. 然後你的解釋方法是黃色這句，沒錯吧？. 可是黃色這句話的前提就是lim sinx/x = 1. 而你這篇前面通篇推論完後，得到的結論是lim f/x = 1. 你還不知道sin'=cos，甚至該說，
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除了前面提過用ODE或是無窮級數的方法,. 是還有一個方法不用到幾何性質定義sin函數啦,. 就是將函數 1/sqrt{1-x^2} 對範圍 [0,x] 的定積分記做 arcsin(x),. 那可驗證 arcsin 在 0 附近是連續且嚴格遞增,. 故可以定義 arcsin 的反函數並記做 sin.
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