Re: [微積] 連鎖律的證明

看板Math作者arrenwu (最是清楚哇她咩)時間5月前發表 (2024/12/07 12:17), 5月前編輯推噓9(9推 0噓 50→)

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※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言： : 在Stewart的書中連鎖律證明的上半部分是這樣這證明過程看起來還真是有點花，讓我們換個角度來看好了微分的連鎖律給定兩函數 f(x), g(x)，並且定義合成函數 h(x) = f(g(x)) 連鎖律：如果在x=a, g'(a) 與 f'(g(a)) 都存在，試證 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a) 一個直覺的想法有一種滿直接的做法是： lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) x->a x->a = lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a) x->a 而 (1) lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)) = f'(g(a)) x->a (2) lim [g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) x->a 所以 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = f'(g(a))*g'(a) x->a 秒殺！很遺憾的，這個直覺的做法有瑕疵上面那想法雖然沒有錯(至少沒有錯得太離譜) 但是有一個數學上的問題是我們在取極限的時候，x->a 有個基本的假設是 x≠a 所以分母寫 (x-a) 是 well-defined，但是！我們並沒有保證過 (g(x)-g(a)) 不等於零。也就是說， [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a) 這個寫法本身就隱含著"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。 (不然你也沒辦法放在分母了) 那麼，我們有 "x≠a的時候，g(x)-g(a)不等於零" 這項假設嗎？很遺憾地，沒有。所以這時候數學分析的技術開始介入了！讓我們來看個比較嚴謹的數學證明問題出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我們就來處理這部分吧所以我們定義一個快樂函數 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a) f'(g(a)) , g(x)=g(a) 因為絕對不可能有一個 x 使得 g(x)=g(a) 與 g(x)≠g(a) 同時成立，所以這函數是 well-defined的定義這函數幹嘛呢？ Claim1:對於任意 x≠a 我們有 [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) <Proof of Claim1> 這個證明很直接，就討論 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情況有了Claim1之後，距離目標就不遠了畢竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知條件 x->a 下一步就僅剩下證明 lim u(x) = f'(g(a)) x->a 有這個條件的話，就可以得到 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) x->a x->a = lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) x->a x->a = f'(g(a)) * g'(a) Claim2: u(x) 在 x=a 時連續 <Proof of Claim2> 想要證明這件事情，必須證明對於任意ε>0，都存在一個η>0 使得 |x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε 當然， u(a) = f'(g(a)) 是顯而易見啦證明開始囉！已知 f'(g(a)) 存在，所以對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得 y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε 用g(x)帶入y可得到對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得 g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ => |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε => |u(x)- f'(g(a))|<ε ..... (1) 同時，任何情況下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a)) .... (2) 綜合(1),(2)我們可以得到對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得 |g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3) 另一方面因為 g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 時必定連續所以對於任意 δ > 0 ，必然存在一個 η>0 使得 |x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ .......... (4) 綜合 (3),(4)，我們可以得到對於任意ε>0，都存在一個 η>0 使得 |x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε Q.E.D 好，既然我們現在有了 u(x) 在 x=a 時候連續，自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a)) x->a 之後可以歡樂地使用 chain rule了 :D -- 今天的天空好像特別美 https://i.imgur.com/ZsB6Y1Q.jpg

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mantour

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oyasmy

12/08 22:34, 5月前 , 3^F

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oyasmy

12/08 22:38, 5月前 , 7^F

12/08 22:38, 7^F

從u(x)定義來看， (1) 我們可以直接得到 u(a) = f'(g(a))， (2) 但那個定義沒辦法直接得到 lim u(x) = f'(g(a)) x->a 要證明lim u(x) = f'(g(a)) ，就要證明下面這件事情： x->a 對於任意ε>0，都存在一個δ>0 使得 x≠a, |x-a|<δ => |u(x)-f'(g(a))| <ε 妳不妨試試看妳會怎麼做 :)

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