Re: [微積] 連鎖律的證明

看板Math作者musicbox810 (結束是一種開始)時間1年前 (2024/12/11 14:48)推噓8(8推 0噓 29→)

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抱歉，因為疑問需要打公式，就回一篇。為了版面整潔，恕刪部分前文內容 ※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言： : ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言： : : 在Stewart的書中連鎖律證明的上半部分是這樣 : 這證明過程看起來還真是有點花，讓我們換個角度來看好了 : 微分的連鎖律 : 給定兩函數 f(x), g(x)，並且定義合成函數 h(x) = f(g(x)) : 連鎖律：如果在x=a, g'(a) 與 f'(g(a)) 都存在， : 試證 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a) : 我們在取極限的時候，x->a 有個基本的假設是 x≠a : 所以分母寫 (x-a) 是 well-defined， : 但是！我們並沒有保證過 (g(x)-g(a)) 不等於零。 : 也就是說， : [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a) : 這個寫法本身就隱含著"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。 : (不然你也沒辦法放在分母了) : 那麼，我們有 "x≠a的時候，g(x)-g(a)不等於零" 這項假設嗎？ : 很遺憾地，沒有。 : 所以這時候數學分析的技術開始介入了！ : 讓我們來看個比較嚴謹的數學證明 : 問題出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我們就來處理這部分吧 : 所以我們定義一個快樂函數 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a) : f'(g(a)) , g(x)=g(a) : 因為絕對不可能有一個 x 使得 g(x)=g(a) 與 g(x)≠g(a) 同時成立， : 所以這函數是 well-defined的 : 定義這函數幹嘛呢？ : Claim1:對於任意 x≠a 我們有 : [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) : <Proof of Claim1> : 這個證明很直接，就討論 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情況 [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)只適用g(x)≠g(a)的情況不適用於g(x)=g(a)的情況吧？ [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a)應該=0當g(x)=g(a) 如果 [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = f'(g(a))[(g(x)-g(a)]/(x-a)當g(x)=g(a)，只能說造出了一個跟原本99%像而已的[H(g(x))-H(g(a))]/(x-a)。 : 有了Claim1之後，距離目標就不遠了 : 畢竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知條件 : x->a : 下一步就僅剩下證明 lim u(x) = f'(g(a)) : x->a : 有這個條件的話，就可以得到 : lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) : x->a x->a 　　　　　　　　　　　　　　　　　當g(x)=g(a)時，請問等號為什麼會成立？這一步看不懂... : = lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) : x->a x->a : = f'(g(a)) * g'(a) !!!!!!! 強迫給u(a)的值目的就在這裡吧？但是這種作法，我覺得只是為了要繼續適用當g(x)=g(a)時的f'(g(a)) * g'(a)結果，實際上是人為故意賦予f(g(a))-f(g(a))]/(g(a)-g(a))=0/0一個新值，有點倒果為因，先射箭(認定連鎖律形式不變)，再畫靶(定義u(a))，只為套用f'(g(a)) * g'(a)的結果。何不從定義開始呢？假設在x=a的鄰域g(x)=g(a) lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = lim 0/(x-a) = 0 x->a x->a x->a 而且g'(a)=0，f'(x)存在的情況下，f'(g(a))是什麼值不重要，只要是有限就好。 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = 0改寫成f'(g(x))*0一樣滿足f'(g(a)) * g'(a)的結果， x->0 所以可以直接沿用g(x)≠g(a)情況下的連鎖律形式。 : Claim2: u(x) 在 x=a 時連續 : <Proof of Claim2> : 想要證明這件事情，必須證明 : 對於任意ε>0，都存在一個η>0 使得 : |x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε : 當然， u(a) = f'(g(a)) 是顯而易見啦 : 證明開始囉！ : 已知 f'(g(a)) 存在，所以對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得 : y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε : 用g(x)帶入y可得到 : 對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得 : g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ : => |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε : => |u(x)- f'(g(a))|<ε ..... (1) : 同時，任何情況下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a)) .... (2) : 綜合(1),(2)我們可以得到 : 對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得 : |g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3) : 另一方面因為 g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 時必定連續 : 所以 : 對於任意 δ > 0 ，必然存在一個 η>0 使得 : |x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ .......... (4) : 綜合 (3),(4)，我們可以得到 : 對於任意ε>0，都存在一個 η>0 使得 : |x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε Q.E.D : 好，既然我們現在有了 u(x) 在 x=a 時候連續， : 自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a)) : x->a : 之後可以歡樂地使用 chain rule了 :D -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.22.16 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1733899712.A.EDE.html

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