Re: [微積] 連鎖律的證明

看板Math作者ERT312 (312)時間5月前 (2024/12/06 06:52)推噓2(2推 0噓 10→)

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※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言： : 在Stewart的書中連鎖律證明的上半部分是這樣 : https://math.stackexchange.com/questions/2621170/chain-rule-proof-is-a-bit-unclear-what-is-epsilion-in-this-proof : 而下半部分就是 : u=g(x)在a可微 y=f(u)在b=g(a)可微 : Δu=[g'(a)+ε1]Δx : Δy=[f'(b)+ε2]Δu : Δy=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]Δx : Δy/Δx=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1] : 當Δx->0 ε1->0且ε2->0 : dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1] : =f'(b)g'(a)=f'(g(a))g'(a) : 證明的下半部是簡單的但是上半部是令人困惑的 : 我的問題和連結的原po不一樣 : 我的問題有二點 : 1.為什麼可以在Δx=0的時候定義ε=0 : 我知道當Δx=0 ε=0/0-f'(a)=沒有定義 : 但是為什麼可以去定義它的值?一個函數的值不是應該要證明出來嗎? : 定義不就是我想要它多少就多少這是可以的嗎? : 2.這個證明有必要知道ε=0(當Δx=0)嗎? : 我覺得我只要知道lim(Δx->0)ε=0就好至於Δx=0時 ε的值是多少 : 根本就不重要吧? x,y,u這些變量，與f,g函數以及a,b兩定值這些符號都沿用舊有定義 Define Δu = g(a+Δx)-g(a) (1) Δy = f(b+Δu)-f(b) (2) Δu,Δy可以看作變數，也可以看作函數 Δu是Δx的函數，因為g與a皆fixed Δy是Δu的函數，從而(Δy。Δu)是複合函數 (Δy。Δu)(Δx):=Δy(Δu(Δx)) Denote ε1 = Δu/Δx - g'(a) (3) ε2 = Δy/Δu - f'(b) (4) define與denote有時候幾乎沒有差別這裡作者用denote大概是覺得 Δx,Δu,g'(a)這些都已存在(定義好了) 現在我們只不過把 Δu/Δx - g'(a) 用ε1表示而已 ε1與ε2可以看成變數也可以看成函數 ε1是Δx的函數 ε2可以看成Δu的函數，此時Δu是獨立自變數 (例如當我們只考慮f在b點可微時) ε2也可以看成Δx的函數 (例如考慮chain rule時，先讓ε2符號overloaded) 至於要不要定義ε1(0)=0 無關緊要不做定義或隨意定義皆可，因為接下來的證明用不到ε1(0) 但ε2(Δu=0)必須定義，讓ε2在Δu=0點連續有好處不連續的話也可以證明，稍微麻煩一點為何ε2(Δu=0)可以隨意定義? 由(4)式 => Δy = (f'(b)+ε2)Δu (5) (5)式讓Δu=0可得Δy=0，並不違反(2)式此時ε2(Δu=0)定義為何值(5)式皆成立而chain rule考慮的僅是Δx,Δu,Δy的關係因此ε2(Δu=0)怎麼定義皆可由(3)式 => Δu = (g'(a)+ε1)Δx (6) 由(5)(6)二式 => Δy = (f'(b)+ε2)(g'(a)+ε1)Δx (7) 因Δx≠0 (7)式 => Δy/Δx = (f'(b)+ε2)(g'(a)+ε1) 先讓兩邊取極限 lim Δy/Δx =? lim (f'(b)+ε2)(g'(a)+ε1) Δx→0 Δx→0 =? (f'(b)+lim ε2(Δu(Δx)))(g'(a)+lim ε1(Δx)) Δx→0 Δx→0 lim ε1(Δx) = 0 沒問題，因為由(3)式以及g在a點可微可馬上得出 Δx→0 所以關鍵在 lim ε2(Δu(Δx)) =? 0 (8) Δx→0 先插播一個定理 Thm:若函數f在a點的極限存在且等於L 函數g在L點連續,則 lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(L) x→a x→a 所以若ε2在Δu=0連續，(8)式的問號就可以拿掉了從而可以證明chain rule，課本的證明至此結束以下說明ε2在Δu=0不連續也可以證明chain rule 先把chain rule 用另一種形式寫一遍 dy/dx = (dy/du) (du/dx) Δy/Δx = (Δy/Δu)(Δu/Δx) (Δx,Δu≠0) Δx不等於0沒問題，問題出在Δu有可能等於0 這也是chain rule 的證明沒有想像中簡單的原因否則兩邊取極限就是chain rule了所以我們先考慮這種情況若函數Δu在0的鄰域內(可以不包含0)都不等於0 則(8)式也會成立用數學一點的語言寫就是若存在δ>0 for all Δx s.t. 0<|Δx|<δ => Δu(Δx)≠0 則(8)式成立而否定上述情況的Δu即為 For all δ>0 there exists a Δx s.t. 0<|Δx|<δ and Δu(Δx)=0 此時可證明若g'(a)存在必等於0 因此不用管(8)式的極限是否存在因為ε2在0的某鄰域有界，而 (g'(a)+lim ε1(Δx))=0 Δx→0 從而 lim Δy/Δx = 0 = f'(b)*(g'(a)=0) Δx→0 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.228.22 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1733467927.A.E4D.html

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oyasmy

12/06 22:48, 5月前 , 1^F

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12/06 22:49, 5月前 , 2^F

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12/06 22:50, 5月前 , 3^F

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