Re: [線代] 矩陣 AB=I => BA = I 嗎
※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: 反方陣的定義
: AB = BA = I，則 B 稱為 A 的反矩陣
: 如果只有 AB = I 那是否必然 BA = I 呢
: 如何證明？
分兩步驟，
第一步驟，證明A存在右反方陣的時候，會存在左反方陣
第二步驟，當一個方陣A同時存在左右反方陣的時候，這兩個方陣相等。
第二步驟比較好證，一行就結束，你自己想。
第一步驟就要中規中矩來了。
pf: 令A為n*n方陣, 設存在 B 使得 AB=I,
則代表 A 化為 echelon form 時不會有非0的列 (即rank A = n)
為何呢？以 3*3 為例, 假設 A 不如此,
你把矩陣乘法 AB=I 想像成 A*(B的第一col)=[1 0 0]^T
A*(B的第二col)=[0 1 0]^T
A*(B的第三col)=[0 0 1]^T
不管對A作哪種列運算, 右側的[1 0 0]^T也好、[0 1 0]^T也好、[0 0 1]^T也好
你不妨觀察這些特殊的行矩陣(I的各個column)的特性,
發覺不管反覆做哪三種列運算, 絕不可能最下面的entry同時產生0,
這有點難, 如果你覺得你不好想像, 就不妨拿張計算紙自己試試看
因此一定會在有個什麼 A*(B的第j個col) = [ 0 ... 1(somewhere) ...0]^T
的時候, 增廣矩陣寫完最下面產生什麼 "0 0 0 0 0 ... 0 | 常數" 這種樣子
換言之(B的第j個col)無解. 也就是B不存在, 也就是 A 沒有右反方陣, 與已知矛盾.
嗯, 所以 rank A = n.
又 rank A= n時, A可以列運算成 I(自己查課本)
也就是左側可以成一大堆基本矩陣, 好比 E5E4E3E2E1A=I
故A也有左反方陣(就是E5E4E3E2E1), 得證.
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※ 編輯: alfadick (114.44.192.4), 02/28/2015 13:01:42
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這真的超簡單的
因為 A 是 n*n 矩陣, rankA=n
因此 A 化為 echelon form 之後, pivot是對角線一路這樣下來
長成這樣的矩陣, 輕而易舉就可以再列運算成I囉.
或者更直接說, A的reduced echelon form, 就是I
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Friedberg 的線代有他的系統
我超不習慣= = 不太感受到他的哲學觀的美感 XDDDDD
※ 編輯: alfadick (114.44.192.4), 02/28/2015 16:26:07
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