Re: [中學] 國中幾何證明題

看板Math作者 (linkismet)時間9年前 (2014/11/29 11:21), 編輯推噓7(7推 0噓 27→)
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※ 引述《linkismet (linkismet)》之銘言： : ※ 引述《dayjay (數學小老師)》之銘言： : : http://i.imgur.com/nl750yL.jpg
: : 科學班甄選試題，求解 : REFER: : http://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html : ------------------------------------------------------------------------------ : DEF: : a,b,c := 對邊 : R := △ABC外接圓半徑 : r := △DEF內接圓半徑 : ------------------------------------------------------------------------------ : PROPERTIES: : △ABC的垂心是△DEF的內心 : 式一: △ABC=abc/4R : 式二: △DEF=(abc*abs(cosAcosBcosC))/(2R)=(DE+EF+FD)*r/2 : 式三: r=2R*abs(cosAcosBcosC) : ------------------------------------------------------------------------------ : PROOF: : 由式二得 abc/2R,和式三一起 代入式一即可得到 : △ABC=R*(DE+EF+FD)/2 : ------------------------------------------------------------------------------ : 有現成的就偷懶不想自己證明... 想了個用三角函數的証明 首先利用共圓得到角度關係 http://imgur.com/bv3Z87a
再定義一些角度 http://imgur.com/AJ7cPxu
接下來只要用正弦定理和角度關係做些代數運算 http://imgur.com/ycq3ndW
http://imgur.com/dsJFJYc
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推
11/29 13:23, , 1F
應該有古典幾何的解法
11/29 13:23, 1F
推
11/29 17:08, , 2F
現在才發現這跟我在 #1KK-2M-g 解的那一題問的幾乎
11/29 17:08, 2F
→
11/29 17:08, , 3F
是一樣的東西...
11/29 17:08, 3F
推
11/30 07:39, , 4F
感謝! 很清楚
11/30 07:39, 4F
推
11/30 11:19, , 5F
有古典幾何證明: 設外心為O, BC中點為M, B對CO做垂
11/30 11:19, 5F
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11/30 11:21, , 6F
線垂足為H, 證明EF=BH. 因BEFHC共圓, 因此等於要證
11/30 11:21, 6F
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11/30 11:23, , 7F
明角BMH=角EMF. 因角EMF=180度-角A, 而角BMH=180度-
11/30 11:23, 7F
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11/30 11:24, , 8F
角A, 故得證. 然後DE和DF也如法炮製. 三角形面積=
11/30 11:24, 8F
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11/30 11:25, , 9F
1/2 R*(三頂點做AO BO CO的垂線)=1/2 R*(DF+DE+EF)
11/30 11:25, 9F
→
11/30 11:27, , 10F
更正 角BMH=角EMF=180度-2*角A
11/30 11:27, 10F
推
11/30 12:51, , 11F
原題的等式好像對鈍角三角形不成立?
11/30 12:51, 11F
→
11/30 12:58, , 12F
沒仔細看, 但是三角函數的證法有限定要銳角嗎?
11/30 12:58, 12F
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11/30 13:31, , 13F
如果式一 式二 式三 對所有三角形都成立, 那顯然原
11/30 13:31, 13F
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11/30 13:32, , 14F
題對鈍角三角形也應該成立?
11/30 13:32, 14F
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11/30 16:07, , 15F
原命題鈍角時仍成立，但我寫的証明是以圖寫出條件
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11/30 16:07, , 16F
的，所以討論鈍角的狀況時都要修改。用兩種概念都是
11/30 16:07, 16F
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11/30 16:07, , 17F
能得証的。
11/30 16:07, 17F
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11/30 16:07, , 18F
至於數學資料庫給的資料我沒一一逐証，但我想應該是
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11/30 16:07, , 19F
都成立的。
11/30 16:07, 19F
推
11/30 18:39, , 20F
我覺得奇怪的是 我和S大的證明初步看起來都無法適用
11/30 18:39, 20F
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11/30 18:40, , 21F
到鈍角 也就是其實古典幾何證明並沒有證出鈍角的情
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11/30 18:41, , 22F
形 而式二 式三中用到了絕對值 所以是有考慮到鈍角
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11/30 18:43, , 23F
的情形(內容我沒仔細看) 我在思考要怎麼把古典幾何
11/30 18:43, 23F
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11/30 18:44, , 24F
證明補完鈍角情形時, 發現鈍角好像是不成立的. 所以
11/30 18:44, 24F
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11/30 18:45, , 25F
要不就是鈍角的情形要另外想個古典證明, 要不就是那
11/30 18:45, 25F
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11/30 18:45, , 26F
三個三角函數公式有錯?
11/30 18:45, 26F
推
11/30 19:09, , 27F
原命題對鈍角三角形不成立: 考慮一個等腰三角形,最
11/30 19:09, 27F
→
11/30 19:10, , 28F
大角趨近180度, 則R趨近於無限大, 而DF+EF+FD趨近於
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11/30 19:11, , 29F
最大角對邊的兩倍
11/30 19:11, 29F
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12/01 09:29, , 30F
式二應該是針對銳角三角形 但既然如此他在式中用絕
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12/01 09:31, , 31F
對值有何意義? XD
12/01 09:31, 31F
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12/01 18:28, , 32F
式一二三是鈍銳角都成立的，討論鈍角時三個餘弦連
12/01 18:28, 32F
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12/01 18:29, , 33F
乘積會是負的所以要加絕對值才夠一般，我之後再補
12/01 18:29, 33F
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12/01 18:29, , 34F
式一二三的證明
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