Re: [中學] 遞迴數列
※ 引述《AZsorcerer (AZ)》之銘言：
: a_1=2 , a_2=4
: a_n * a_(n-2) = [a_(n-1)]^2 + 2012 <前後兩項之積為中間項平方+2012>
: a_2012 a_2011
: A= ---------- + ---------- , 求大於A的最小正整數. Ans. 254
: a_2011 a_2012
: 看到題目的想法是求前後兩項比值的關係式
: a_n a_(n-1)
: 看能不能找出 ----------- 與 ----------- 的關係
: a_(n-1) a_(n-2)
: 但是會卡在常數2012的部份
: 希望板上高手能夠提供意見,感謝您
a_n * a_(n-2) = [a_(n-1)]^2 + 2012
=> a_n = {[a_(n-1)]^2 + 2012} / a_(n-2)
也就是說：
a3 = (a2^2 + 2012)/a1
a4 = (a3^2 + 2012)/a2
a5 = (a4^2 + 2012)/a3
. .
. .
所以：
a3/a2 = (a2^2 + 2012)/(a1a2) = a2/a1 + 2012/(a1*a2)
a4/a3 = (a3^2 + 2012)/(a2a3) = a3/a2 + 2012/(a2*a3)
a5/a4 = (a4^2 + 2012)/(a3a4) = a4/a3 + 2012/(a3*a4)
. .
. .
. .
a2011/a2010 = a2010/a2009 + 2012/(a2010*a2009)
a2012/a2011 = a2011/a2010 + 2012/(a2011*a2010)
全部加起來：
a2012/a2011
= a2/a1 + 2012/(a1*a2) + 2012/(a2*a3) + 2012/(a3*a4) + ... +2012/(a2011*a2010)
又 a1 = (a2^2 + 2012)/a3
a2 = (a3^2 + 2012)/a4
a3 = (a4^2 + 2012)/a5
所以：
a1/a2 = (a2^2 + 2012)/(a2a3) = a2/a3 + 2012/(a2a3)
a2/a3 = a3/a4 + 2012/(a3a4)
. .
. .
. .
a2009/a2010 = a2010/a2011 + 2012/(a2010a2011)
a2010/a2011 = a2011/a2012 + 2012/(a2011a2012)
全部加起來：
a1/a2 = a2011/a2012 + 2012/(a2a3) + 2012/(a3a4) + ... + 2012/(a2011a2012)
即：
a2011/a2012
= a1/a2 - 2012/(a2a3) - 2012/(a3a4) - ... - 2012/(a2011a2012)
a2012/a2011
= a2/a1 + 2012/(a1*a2) + 2012/(a2*a3) + 2012/(a3*a4) + ... +2012/(a2011*a2010)
a2011/a2012
= a1/a2 - 2012/(a2a3) - 2012/(a3a4) - ... - 2012/(a2011a2012)
所以：
a2012/a2011 + a2011/a2012
= a2/a1 + 2012/(a1*a2) + 2012/(a2*a3) + 2012/(a3*a4) + ... +2012/(a2011*a2010)
+ a1/a2 -2012/(a2a3) -2012/(a3a4) -... -2012/(a2011*a2010) -2012/(a2011a2012)
= a2/a1 + a1/a2 + 2012/(a1a2) - 2012/(a2011a2012)
= 4/2 + 2/4 + 2012/8 - 2012/(a2011a2012)
= 2 + 0.5 + 251.5 - 2012/(a2011a2012)
= 254 - 2012/(a2011a2012)
因此大於 a2012/a2011 + a2011/a2012 的最小正整數為 254
※ 編輯: ckchi 來自: 140.116.89.133 (02/10 14:49)
推
02/10 14:49, , 1F
02/10 14:49, 1F
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02/10 14:50, , 3F
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02/10 14:51, , 5F
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02/10 14:52, , 6F
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討論串 (同標題文章)