Re: [中學] 二項式定理
※ 引述《pgcci7339 (= =)》之銘言：
: ※ 引述《fess (茼蒿)》之銘言：
: : 題目： 1^2 * C(8,1) * (1/5)^1 * (4/5)^7
: : + 2^2 * C(8,2) * (1/5)^2 * (4/5)^6
: : + 3^2 * C(8,3) * (1/5)^3 * (4/5)^5
: : + ................................
: : + 8^2 * C(8,8) * (1/5)^8 =?
: : 這個題目，我完全沒有頭緒，太多東西組合在一起！
: : 麻煩高手指點一下。
: 回文好了XDD
: 8
: 原式=Σ k^2*C(8,k)*(1/5)^k*(4/5)^(8-k)
: k=1
: 考慮 n=8,p=1/5 的二項分配X
: 則 上式可看成 E(X^2)
: 因為二項分配的期望值 E(X)=np 且
: Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=np(1-p)
: 所以 E(X^2)=(np)^2+np(1-p)
: =(8/5)^2+(8/5)(1-1/5)=96/25。
來寫個暴力解 .
C(n,m) = n! / m!(n-m)! , 則 m C(n,m) = n C(n-1,m-1) .
n n
原式 = Σ m^2 C(n,m) a^(m) b^(n-m) = Σ m n C(n-1,m-1) a^(m) b^(n-m)
m=1 m=1
n n
= n [ Σ (m-1) C(n-1,m-1) a^(m) b^(n-m) + Σ C(n-1,m-1) a^(m) b^(n-m) ]
m=1 m=1
n n-1
= n Σ (m-1) C(n-1,m-1) a^(m) b^(n-m) + n Σ C(n-1,p) a^(p+1) b^(n-1-p)
m=2 p=0
n n-1
= n Σ (n-1) C(n-2,m-2) a^(m) b^(n-m) + na Σ C(n-1,p) a^(p) b^(n-1-p)
m=2 p
n-2
= n(n-1) Σ C(n-2,q) a^(q+2) b^(n-q-2) + na (a+b)^(n-1)
q=0
n-2
= n(n-1)a^2 Σ C(n-2,q) a^(q) b^(n-q-2) + na (a+b)^(n-1)
q=0
= n(n-1)a^2 (a+b)^(n-2) + na (a+b)^(n-1)
= (n^2a^2 + nab) (a+b)^(n-2)
將 n=8, a=1/5, b=4/5 代入, 即可得答案 = 96/25 .
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◆ From: 112.105.82.19
推
05/20 02:43, , 1F
05/20 02:43, 1F
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