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作者 hwanger 在 PTT 全部看板的留言(推文), 共4432則

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[數論] 最近在想數論的問題

[ Math ]9 留言, 推噓總分: 0

作者: MrBigTree - 發表於 2020/10/30 13:14(3年前)

6^F→hwanger: https://math.stackexchange.com/a/950710/30 13:22

7^F→hwanger: 是的 a是整數的話只有一組解上面網址是考慮f(x)=10/30 13:25

8^F→hwanger: x^(1/x) 在e之前是遞增在e之後是遞減所以x或y其中10/30 13:27

9^F→hwanger: 一個必須是小於e的 (因為原式可換成 x^(1/x)=y^(1/y10/30 13:28

10^F→hwanger: 提上面網址主要是因為正如同一篇文章中的其他回答10/30 13:30

11^F→hwanger: 所提到的 x^y=y^x是有general solution的10/30 13:30

12^F→hwanger: 可同時看wiki10/30 13:32

13^F→hwanger: https://reurl.cc/WLyoy710/30 13:33

[其他] 離散兩題

[ Math ]21 留言, 推噓總分: +1

作者: LiquidTLO - 發表於 2020/10/29 17:01(3年前)

16^F→hwanger: (1)沒有仔細去看原PO想法抱歉但如果把問題想成抽10/30 13:09

17^F→hwanger: 0號到4號球抽後放回連續押7次的話是可以寫成程式10/30 13:11

18^F→hwanger: https://paste.ofcode.org/ctsHxYn852F5GFsj7WvTEt10/30 13:13

19^F→hwanger: 算出來是40600/78125 應該就可以檢驗原本想法對不對10/30 13:15

[分析] 一題遞迴函數

[ Math ]2 留言, 推噓總分: 0

作者: magic704226 - 發表於 2020/10/28 22:45(3年前)

1^F→hwanger: 令S(n)=T(n)/n 則S(n)=S(√n)+1 令log(n)=m後再用10/29 00:49

2^F→hwanger: master theorem應該可以做10/29 00:49

[其他] 離散一題

[ Math ]29 留言, 推噓總分: 0

作者: LiquidTLO - 發表於 2020/10/27 17:55(3年前)

1^F→hwanger: (a)(b)差不多就是你的想法10/27 22:07

2^F→hwanger: (a) 列出所有長度小於等於k的字串篩出well-formed10/27 22:08

3^F→hwanger: formula 找會算出n的最短字串10/27 22:08

4^F→hwanger: (b) 先寫一個副程式Count(t,P) 判斷P 1.是否為一個10/27 22:09

5^F→hwanger: 合法程式碼 2.如果是合法程式碼則是否能在t步內執10/27 22:09

6^F→hwanger: 行完畢10/27 22:09

7^F→hwanger: 接著考慮一段直接印出n的程式碼 [例如在c中10/27 22:10

8^F→hwanger: #include<stdio.h>(換行符號)int main(int argc,10/27 22:10

9^F→hwanger: char** argv){printf("%d",n);return 0;}]10/27 22:10

10^F→hwanger: 計算他的執行步數+符號個數 T 然後考慮所有符號個數10/27 22:11

11^F→hwanger: 在T內的字串P 再用Count(T,P)篩選找會印出n的最短10/27 22:11

12^F→hwanger: 程式碼 >>>所以是可以找出"最短"的程式碼的10/27 22:12

13^F→hwanger: 上面是大致的想法你可能還是依你們上課的嚴謹程度10/27 22:15

14^F→hwanger: 來完成細節冏10/27 22:15

17^F→hwanger: 不是很清楚你想表達什麼不過跟(a)的k一樣我們會有10/27 23:04

18^F→hwanger: 一個T的bound10/27 23:04

19^F→hwanger: 另外在(b)中還有一種case就是允許程式一開始就接10/27 23:06

21^F→hwanger: 受一個外部參數或中途輸入(scanf之類的) 但每接受10/27 23:07

22^F→hwanger: 一個字符就會耗去一次執行次數所以可以input的字串10/27 23:08

23^F→hwanger: 長度也是有一個和T有關的上限N存在所以也可以把所10/27 23:10

24^F→hwanger: 有長度N的字串放在Count的參數中考慮 Count(T,P,W)10/27 23:12

25^F→hwanger: 例如W="321\r44\r" 當程式要兩次讀入數字時他就會10/27 23:13

26^F→hwanger: 先讀321 下次再讀44 而Count可以計算在某個W下 P的10/27 23:15

27^F→hwanger: 執行次數10/27 23:15

28^F→hwanger: 這邊表達的有點混亂抱歉不過因為你原本就有差不多10/27 23:27

29^F→hwanger: 的想法我想傳達應該還是有傳達到如果不清楚再問10/27 23:28

[離散] 數學歸納法、強數學歸納法的n=1

[ Math ]118 留言, 推噓總分: +5

作者: fragmentwing - 發表於 2020/10/27 10:41(3年前)

1^F→hwanger: 數學歸納法是關於無限的定理對他不信任是正常的10/27 11:00

5^F→hwanger: 但使用數學歸納法時你永遠要確保兩件事第一件事是10/27 11:01

6^F→hwanger: 起點是存在的第二件事是鏈鎖是一定會發生的10/27 11:02

7^F→hwanger: 關於蓋金字塔你並沒有保證鏈鎖一定會發生也就是10/27 11:02

12^F→hwanger: 你沒有正當的理由說明P(k)發生時 P(k+1)是無法發生10/27 11:03

13^F→hwanger: 或一定發生的10/27 11:04

14^F→hwanger: 看到一個數列前頭都是2 你沒有任何理由保證鏈鎖一定10/27 11:06

15^F→hwanger: 會發生自然就不知道下一個是什麼10/27 11:07

16^F→hwanger: 馬的題目是什麼??10/27 11:08

17^F→hwanger: 另外郵票題目是可以3x+5y=n n>=8 一定有正整數解去10/27 11:11

18^F→hwanger: 看的用數論的方法就能解釋雖然文中數學歸納法是正10/27 11:12

19^F→hwanger: 確的但如果你不放心你可以用其他方法證10/27 11:13

20^F→hwanger: 喔喔我知道馬的問題了馬的問題是在你沒有確保鏈鎖10/27 11:15

21^F→hwanger: 一定發生也就是P(k) implies P(k+1)這件事對所有的10/27 11:16

22^F→hwanger: k都會成立因為論述中不能適用在k=1的情況10/27 11:17

23^F→hwanger: 我不太懂overlap是指什麼馬的問題缺失是在P(1)推不10/27 11:19

24^F→hwanger: 到P(2)10/27 11:19

25^F→hwanger: "可是關於最後一步驟...">>>可是你沒有確保起點存在10/27 11:20

26^F→hwanger: 呀數學歸納法中"起點存在"和"鏈鎖一定發生"是同樣10/27 11:21

27^F→hwanger: 重要的有些書寫證明會省略這個或那個是因為有時他10/27 11:22

28^F→hwanger: 是顯然的不是因為他不用check10/27 11:23

29^F→hwanger: 例到最小的k-3或k-5會存在就好了10/27 11:25

30^F→hwanger: 如果真的無法理解那就列8,9,10 然後分別考慮3k,10/27 11:28

31^F→hwanger: 3k+1,3k+2的情況就好了不用特別去想k-3或k-510/27 11:29

32^F→hwanger: 也就是一次證三個數學歸納法10/27 11:30

33^F→hwanger: Ok 我可能懂你的問題在哪了你列的東西並沒有保證10/27 11:33

34^F→hwanger: k>=11時 k-5一定會發生但其實k-5這條是多餘的考慮10/27 11:34

36^F→hwanger: k-3就好了而比較嚴謹的證明就如上所述你要分別在10/27 11:36

43^F→hwanger: 除3餘1 除3餘2 除3餘0的cases上各自作數學歸納法10/27 11:37

44^F→hwanger: ??? 馬的問題 "P(n) implies P(n+1)"n大於1時是對的10/27 11:41

45^F→hwanger: 他的論證也沒問題可是數學歸納法是要求"P(n)10/27 11:42

46^F→hwanger: implies P(n+1) for all n" 數學有很多定理條件差10/27 11:43

47^F→hwanger: 一點點結論就會錯了10/27 11:43

48^F→hwanger: 用T大的比喻就是你骨牌在台灣排好了但你起點卻在10/27 11:48

49^F→hwanger: 美國10/27 11:48

50^F→hwanger: "關於這敘述我最不能理解...">>>因為P(n)的敘述是對10/27 11:50

51^F→hwanger: 於任意n隻馬其顏色都相同10/27 11:51

52^F→hwanger: 那你現在假設P(n)是對的所以1,2,...,n是"任意n隻馬10/27 11:52

53^F→hwanger: 2,3,...,n+1也是任意n隻馬所以1和2同顏色 2和n+1也10/27 11:53

54^F→hwanger: 同顏色你會覺得奇怪是因為你一開始就知道P(n)不可10/27 11:54

55^F→hwanger: 能是對的但在implication中前項恆錯敘述恆真10/27 11:56

56^F→hwanger: 深究一下金字塔問題其謬誤在於你假設前k粒因為建不10/27 12:01

57^F→hwanger: 起金字塔所以就不重要了再加一粒不重要的所以還10/27 12:01

58^F→hwanger: 是不重要但假設你今天走路你一步跨不出一百公尺10/27 12:03

59^F→hwanger: 你接下來每步都跨不出一百公尺所以你走不到一百公10/27 12:04

60^F→hwanger: 尺?10/27 12:04

63^F→hwanger: 馬的題目本來就是要證任意n匹馬顏色都相同數學中10/27 12:14

64^F→hwanger: 的題目本來就是沒有特別講存在就是for all10/27 12:14

65^F→hwanger: 他沒有把概念偷換掉證明會錯也不是因為什麼概念被10/27 12:16

66^F→hwanger: 偷換的關係純粹就是因為P(1)無法用他想用的論證推10/27 12:17

67^F→hwanger: 到P(2)10/27 12:17

68^F→hwanger: "if n>1, P(n) infers P(n+1)"原本要作的論證是形式10/27 12:18

69^F→hwanger: 上對的但其意義是違反直覺的10/27 12:19

77^F→hwanger: 違反直覺的地方是指為什麼要假設P(n)(意即前提已經10/27 13:21

78^F→hwanger: 錯了為何要再證P(n)→P(n+1) 而不是說"n>1 P(n)→10/27 13:23

79^F→hwanger: P(n+1)"這件事是對的違反直覺的至於把起點改為2 也10/27 13:25

80^F→hwanger: 是不能用數學歸納法因為沒有保證起點是對的10/27 13:26

81^F→hwanger: 我誤會了 "若任兩匹馬顏色一樣則所有馬顏色一樣"已10/27 14:34

82^F→hwanger: 經和原本馬問題無關了實際上也不需要用數學歸納法10/27 14:35

83^F→hwanger: 去證明10/27 14:35

88^F→hwanger: 原本問題是"對於任意n匹馬這n匹馬顏色都相同"10/27 17:34

89^F→hwanger: 形式是" for all x1,x2,...xn, Q(x1,x2,...,xn)"10/27 17:34

90^F→hwanger: 改過的問題是"對於任意n匹馬若任意兩兩顏色相同則10/27 17:34

91^F→hwanger: 這n匹馬顏色相同"10/27 17:34

92^F→hwanger: 形式是 "for all x1,x2,...,xn, if for all i,j A(x10/27 17:34

93^F→hwanger: i,xj), then Q(x1,x2,....,xn)"10/27 17:34

94^F→hwanger: 第2個問題只要固定其中一匹馬大家都跟這匹馬相比即10/27 17:34

95^F→hwanger: 可10/27 17:34

96^F→hwanger: 就算硬要用數學歸納法證兩者的induction hypothesi10/27 17:34

97^F→hwanger: s也不同10/27 17:34

98^F→hwanger: 第一個P(n):對於任意n匹馬這n匹馬顏色都相同10/27 17:34

99^F→hwanger: P(n)推P(n+1):若"任意n匹馬這n匹馬顏色都相同" 則10/27 17:34

100^F→hwanger: "任意n+1匹馬這n+1匹馬顏色都相同"10/27 17:34

101^F→hwanger: 第二個P(n):對於任意n匹馬若任意兩兩顏色相同則這10/27 17:34

102^F→hwanger: n匹馬顏色相同10/27 17:34

103^F→hwanger: P(n)推P(n+1):若"對於任意n匹馬若任意兩兩顏色相同10/27 17:34

104^F→hwanger: 則這n匹馬顏色相同" 則 "對於任意n+1匹馬若任意10/27 17:34

105^F→hwanger: 兩兩顏色相同則這n+1匹馬顏色相同"10/27 17:34

106^F→hwanger: 用到的假設和要證的東西已經不同了你說用類似的想10/27 17:34

107^F→hwanger: 法證ok 但直接用原論證一定是不行的10/27 17:34

108^F→hwanger: 最簡單的看法就是從n+1匹馬選出n匹馬後在第一個10/27 17:34

109^F→hwanger: 情況這n匹馬就是同顏色的但在第二個情況你必須10/27 17:34

110^F→hwanger: 先check任意兩兩相同顏色才能下結論這n匹馬同顏色10/27 17:34

111^F→hwanger: 兩者推到選出來的n匹馬同顏色的方式不同10/27 17:34

112^F→hwanger: 荒謬的是"對於任意n匹馬這n匹馬顏色必然相同"10/27 17:39

113^F→hwanger: "對於任意n匹馬若兩兩顏色相同則這n匹馬顏色必然10/27 17:39

114^F→hwanger: 相同"則完全沒問題10/27 17:39

115^F→hwanger: 兩個問題形式已經不同說是相關勉強可以但並不是10/27 17:45

116^F→hwanger: 誰基於誰我認為無關就是他們形式上已經無關前者10/27 17:45

117^F→hwanger: 有問題的證明也沒辦法直接給後者用(實際上也不需要10/27 17:45

118^F→hwanger: )10/27 17:45

[中學] 請教中學數學一題

[ Math ]1 留言, 推噓總分: 0

作者: hahaha2009 - 發表於 2020/10/27 13:25(3年前)

1^F→hwanger: 跑程式是(28,51) (39,46) (46,39) (51,28)四組10/27 14:06

[線代] Idempotent 證明

[ Math ]25 留言, 推噓總分: 0

作者: NTUmaki - 發表於 2020/10/27 00:52(3年前)

1^F→hwanger: 是合理的作法10/27 01:13

2^F→hwanger: 若A是idempotent 則I-A也是idempotent b其實是在說10/27 01:21

3^F→hwanger: 一個重要的性質 N(A)=C(I-A)10/27 01:21

4^F→hwanger: 同時我們會有角色對換的性質 C(A)=N(I-A)10/27 01:23

5^F→hwanger: 實際上左邊包含於右邊對於一般矩陣都會成立即當t非10/27 01:36

6^F→hwanger: 零時 N(A)是C(t*I-A)的子集因對任意x在N(A)中 x會10/27 01:36

7^F→hwanger: 是t*I-A的eigenvector10/27 01:36

8^F→hwanger: 而任意eigenvalue不為0的eigenvector的在image中10/27 01:38

9^F→hwanger: typo:都在t*I-A的image中10/27 01:41

10^F→hwanger: 而右邊包含在左邊才是真正用到idempotent的性質10/27 01:44

15^F→hwanger: 不是很重要不過在矩陣的情況下尤其是在討論N(A)10/27 09:51

16^F→hwanger: C(A)這種東西的狀況下 A^2=A的A通常是稱作10/27 09:52

17^F→hwanger: projection(因為是將C(A)⊕N(A)投影到C(A)) 會叫10/27 09:54

18^F→hwanger: idempotent是因為他的確是矩陣"環"中的idempotent元10/27 09:55

19^F→hwanger: 素這時你討論C(A),N(A)其實是在討論矩陣環的元素作10/27 09:58

20^F→hwanger: 用在一個特別module的表現10/27 09:59

21^F→hwanger: 而projection matrix會特別簡單是因為他的minimal10/27 10:03

22^F→hwanger: polynomial是x^2-x 所以他一定可以對角化有兩個10/27 10:04

23^F→hwanger: eigenspace eigenvalue分別是1(對應到C(A))和0(對應10/27 10:05

24^F→hwanger: 到N(A)) 所以從eigendecomposition來看圖片裡的問10/27 10:06

25^F→hwanger: 題都是可以馬上得到答案的10/27 10:07

Re: [中學] 高中一題數列與級數問題

[ Math ]2 留言, 推噓總分: +2

作者: Honor1984 - 發表於 2020/10/26 17:59(3年前)

1^F推hwanger: Neat10/26 18:01

[中學] 高中一題數列與級數問題

[ Math ]5 留言, 推噓總分: +1

作者: yizihappyQ - 發表於 2020/10/26 17:35(3年前)

3^F→hwanger: an=2(n-1) 數學歸納法證明即可10/26 17:53

4^F→hwanger: 錯了抱歉10/26 17:55

5^F→hwanger: 是an=2(2n-1)才對10/26 17:56

[代數] 一題數論問題請教

[ Math ]17 留言, 推噓總分: +5

作者: nokol - 發表於 2020/10/24 23:47(3年前)

1^F→hwanger: 原式=(4n+3)(n-3) 故4n+3, n-3其中一個為正負110/25 00:05

2^F→hwanger: 打錯 (4n-3)(n+3)10/25 00:06

13^F→hwanger: 在整環中非零非可逆元素p滿足"p|ab→p|a or p|b"稱10/26 09:08

14^F→hwanger: 作prime 但做數論時有時為了方便會把大於1的10/26 09:09

15^F→hwanger: "irreducible elememt(反而不是prime 不過在UFD所以10/26 09:12

16^F→hwanger: 互推)"當作定義這個就看原PO想怎麼定義只要他邏輯10/26 09:15

17^F→hwanger: 圓滿就好了10/26 09:15

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