[線代] Idempotent 證明

看板Math作者 (西木野真姬)時間3年前 (2020/10/27 00:52), 3年前編輯推噓0(0推 0噓 25→)
留言25則, 2人參與, 3年前最新討論串1/1
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想問b 的證法 右邊包含於左邊很trivial 但左邊包含於右邊想不到怎麼做，任給x屬於N(A) 一定可以寫成 u-Au 感覺沒有一個出發點 我如果直接取 x=x-Ax 是合理的做法嗎 ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.2.73 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1603731178.A.DA5.html ※ 編輯: NTUmaki (39.8.2.73 臺灣), 10/27/2020 00:54:44
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10/27 01:13, 3年前 , 1F
是合理的作法
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10/27 01:21, 3年前 , 2F
若A是idempotent 則I-A也是idempotent b其實是在說
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10/27 01:21, 3年前 , 3F
一個重要的性質 N(A)=C(I-A)
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10/27 01:23, 3年前 , 4F
同時我們會有角色對換的性質 C(A)=N(I-A)
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10/27 01:36, 3年前 , 5F
實際上左邊包含於右邊對於一般矩陣都會成立 即當t非
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10/27 01:36, 3年前 , 6F
零時 N(A)是C(t*I-A)的子集 因對任意x在N(A)中 x會
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10/27 01:36, 3年前 , 7F
是t*I-A的eigenvector
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10/27 01:38, 3年前 , 8F
而任意eigenvalue不為0的eigenvector的在image中
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10/27 01:41, 3年前 , 9F
typo:都在t*I-A的image中
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10/27 01:44, 3年前 , 10F
而右邊包含在左邊才是真正用到idempotent的性質
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10/27 08:16, 3年前 , 11F
Yes. x in N(A) -> Ax = 0 -> x = x - Ax
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10/27 08:16, 3年前 , 12F
取 u = x 則左邊包含於右邊
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10/27 08:19, 3年前 , 13F
Note that (I-A)^2 = I-A, so I-A is also
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10/27 08:19, 3年前 , 14F
an idempotent
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10/27 09:51, 3年前 , 15F
不是很重要 不過在矩陣的情況下 尤其是在討論N(A)
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10/27 09:52, 3年前 , 16F
C(A)這種東西的狀況下 A^2=A的A通常是稱作
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10/27 09:54, 3年前 , 17F
projection(因為是將C(A)⊕N(A)投影到C(A)) 會叫
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10/27 09:55, 3年前 , 18F
idempotent是因為他的確是矩陣"環"中的idempotent元
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10/27 09:58, 3年前 , 19F
素 這時你討論C(A),N(A)其實是在討論矩陣環的元素作
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10/27 09:59, 3年前 , 20F
用在一個特別module的表現
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10/27 10:03, 3年前 , 21F
而projection matrix會特別簡單是因為他的minimal
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10/27 10:04, 3年前 , 22F
polynomial是x^2-x 所以他一定可以對角化 有兩個
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10/27 10:05, 3年前 , 23F
eigenspace eigenvalue分別是1(對應到C(A))和0(對應
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10/27 10:06, 3年前 , 24F
到N(A)) 所以從eigendecomposition來看 圖片裡的問
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10/27 10:07, 3年前 , 25F
題都是可以馬上得到答案的
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