[思辯] 為什麼 6÷2(1+2) = 1?
八卦板在戰這個數學問題, 看到一些有問題的論證, 就來這提供思考素材.
以下是我個人的why. 歡迎討論.
先給結論:
6÷2(1+2) = 6*{[2(1+2)]^(-1)}
= 6*{[2*(1+2)]^(-1)} //*可省, 這一步是還原以助閱讀
= 6*{[2*(3)]^(-1)}
= 6*{[6]^(-1)}
= 6*{1/6}
= 1
文字解釋一下:
就數學的本質而言, 小學教的四則運算其實只有二則而已, 乘法和加法.
除法是乘法的反運算, 減法是加法的反運算. 這個問題會引起這麼多爭議
, 原因都是用舊知識去解釋該知識範疇無法解釋的問題. 這個問題如果恰
當的使用括號, 用小學代數就可以解答. 現在因為括號省略了, 在舊知識
裏產生歧義, 無法給出令人滿意的答案, 但如果跳脫舊知識, 是有答案的.
這個問題, 用大學或研究所的代數知識(群論), 可以找出答案.
因為任何數a 除以任何不為零的數b 等價於a 乘以 b的乘法反元素.
所以得到以下等式, 其中a = 6, b = 2(1+2):
6÷2(1+2) = 6*{[2(1+2)]的乘法反元素}
= 6*{[2*(1+2)]的乘法反元素} //*可省, 這一步是還原以助閱讀
= 6*{[2*(3)]的乘法反元素}
= 6*{[6]的乘法反元素}
= 6*{1/6}
= 1
有興趣了解更多可繼續閱讀.
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在證明"6÷(1+2)等於6÷1(1+2)"前你的論點都不對 12/28 02:56
6÷(1+2) = 6÷1(1+2) 是正確的.
這種問題, 抽象代數(高等代數)可以解答. (抽象代數會探討代數的最基本性質)
在群論裏面, 不為零的實數在乘法運算底下, 1是identigy element. 所以任何整數
乘以1會得到那個數本身. 另外, 實數在加法運算底下, 相加的結果還是實數.
因此(1+2)是實數. 所以(1+2) = 1*(1+2) = 1(1+2).
省略乘號的, 是因為群論裏二元運算裏面的算符是唯一的, 不會有歧義,
所以可以省略(只要講清楚是哪個群就知道算符是什麼).
因此(1+2) = 1*(1+2) 和 (1+2) = 1(1+2) 都沒有錯.
謹註:
6÷(1+2) = 6÷1(1+2) 有兩個群的觀念混在一起, 一個是實數乘法, 另一個是實數加法.
至於式子裏的除法, 是乘法反運算, 可用乘法達成運算, 等一下會有交代.
至於
12÷3=4 => 12÷1*3=36 照你的跳針例子：3 = 1*3
15÷3=5 => 15÷1*3=45 照你的跳針例子：3 = 1*3
...
20÷10=2 => 20÷1*10=200 照你的跳針例子：10 = 1*10
這裡論證有問題.
12÷1*3不會得到36的結果. 因為除法是乘法反運算, 在運算除法的時候,
就是乘上該數字的乘法反元素. 所以,
12÷1*3 = 12*[(1*3)的乘法反元素]
= 12*[(3)的乘法反元素]
= 12*[1/3]
= 4
至於 3 = 1*3, 這是正確的. 如上所述, 在實數乘法的群裡,
3等於identity element (也就是1), 乘以3自己, 任何數都等於1乘以自己.
因此,
6÷2(1+2) = 6*{[2(1+2)]的乘法反元素}
= 6*{[2*(1+2)]的乘法反元素} //*可省, 這一步是還原以助閱讀
= 6*{[2*(3)]的乘法反元素}
= 6*{[6]的乘法反元素}
= 6*{1/6}
= 1
※ 編輯: carlwt 來自: 99.8.4.250 (12/28 07:40)
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12/28 09:36, , 1F
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推
12/28 14:16, , 2F
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12/28 14:20, , 3F
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那如果是 6÷1(1+2) 呢? 按照你的想法, 不就是
6*(1的乘法反元素)*(1+2), 因為 1的乘法反元素 = 1
所以 6*(1的乘法反元素)*(1+2) = 6*1*(1+2) = 18,
6÷1(1+2) = 18 ?? 不對吧.
6÷1(1+2) = 6÷(1+2) = 2 才對. 請參考我後續另一篇文.
Ebergies:這一向都是計算優先序的問題, 這麼淺的東西有啥好討論的 12/28 14:22
應該沒那麼單純.
※ 編輯: carlwt 來自: 99.8.4.250 (12/28 15:46)
推
12/28 15:55, , 4F
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12/28 16:04, , 5F
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12/28 16:06, , 6F
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12/28 18:51, , 7F
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12/29 10:31, , 8F
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12/29 10:32, , 9F
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01/06 02:06, , 10F
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01/31 13:19, , 11F
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