Re: [分享]科學史 (伍) 後現代數學狀況
※ 引述《dementia (妖精尾巴魔導士)》之銘言：
: ※ 引述《Keelungman (金坷拉是新世界的神)》之銘言：
:
在此先感謝一下d大能夠費心照顧像我這種數理低能的人，
不知道d大的大作哪時候能讓小弟我一觀，好瞭解一下Godel的不完備定理。
不過，由於小弟在推文也起了個頭，說一般哲學家常誤解Godel定理，
在這裡，小弟必為我過於輕佻的言語道歉，正確來說，是不懂數理邏輯的哲學家
和不用功的哲學家才會犯下這種誤解。
不過，小弟也基於好奇心來查一下一般人對於Godel定理的誤解。
以下這篇文章是小弟從大陸博客找來的，跟我之前所認知的差不多，
但是小弟並非深研邏輯或是數學之人，所以裡面有什麼問題的話，
還是須要d大這類的高手解惑：
「常見誤解一：“所有的公理系統都是不完備的”。這是最常見的，
甚至有人用這點來否定邏輯學，這是錯誤的。
拿歐氏幾何來說，就可以被公理化為一個完整的系統。
常見誤解二：“所有包含到自然數的公理系統都是不完備的”。
這個錯誤從上面的有些哥德爾定理的描述中都能看得出來。
該定理僅假設公理系統能“定義”自然數。
很多包含自然數的系統，例如“實數”和“複數”都有完備的公理化系統。
常見誤解三：“因為不完備，我們永遠無法證明一個公理系統無矛盾”。
不，我們可以用其他方法證明，如上面提過的超限歸納法。
其實該定理只表明我們不能從系統的內部證明相容性，
不排除我們可以通過其他系統給出證明。
例如，數論中的皮亞諾公理不能單獨在數論範圍內證明，
但可在集合論中證明。
哥德爾定理主要還是在數學領域中應用的，至於在實際中的運用，
很多都是基於錯誤的理解在盲目套用，論壇中的某些傳教貼子中就多次出現。
要想避免錯誤，還是應該真正的弄懂這個定理的意思，
但矛盾的是，這的確需要相當的數學知識為基礎，才可能，
對於很多人來說，實在太難了。所以在文中我指出一些錯誤理解，
進行了簡單的分析，大家如果加以注意，就可以避免很多錯誤。
下面我介紹一些實際運用的例子，只是我個人認為比較正確的應用，
也許對幫助大家理解這個定理有幫助,
既然是數學定理，最直接的應用領域還是在數學裡，尤其是數論。
很多數論中的命題的證明，都需要用到哥德爾定理。
這我就不多介紹了。這個定理表明，有些關於自然數的命題，
本身可能是真命題，但是不能僅從自然數公理系統內證明或證否，
需要其他的手段或者方法，如集合論等，才可以證明。
曾經有人猜測，“哥德巴赫猜想”可能就是這樣的一個命題。
因此即便對於極為抽像和形式化的數學，數學家的直覺——
也就是大量實踐經驗的積累——比純形式的數學邏輯推理更基本，更可靠。
但並不能就此說邏輯就毫無用處了，後者可以用來驗證前者是否正確，
也可以推導一些新正確的命題，只是不能代表全部。
而如前文所說，即便不能在形式系統內證明，還可以通過其他方法，
或從其他系統中證明。
另外，再次強調，“該定理僅假設公理系統能‘定義’自然數”，
是一階的邏輯定理，不要任意擴大。這裡經常發生錯誤理解，
還是建議有興趣的朋友多了解掌握有關的基礎知識。
該定理的另一個主要應用領域，是數學的一個應用分枝——計算機和人工智能。
現在把我文中提過的停機問題簡單介紹一下。
計算機到現在有了極大的發展，但是基本原理還是馮·諾依曼提出來的，
只是速度和效率大大提高了。從根本上說，計算機的程序，
就是一種基於2進制數字運算的命題演算系統。其中給出的公理是有限的，
規則是可計算，而判定出命題的真偽時，輸出結果，
停機並轉向下一個命題的處理。
這就符合了哥德爾第一不完備定理的條件。可如該定理所說，
這樣的系統必然是不完備的，也就是說至少有一個命題不能通過這樣的“程序”
被判明真偽，系統在處在這樣的命題時，就無法“停機”，
用俗話說就是被“卡”住了，永遠不能繞過。無論你怎樣擴充公理集，
只要是有限的，這個現像就始終存在。而無限的公理集對於計算機來說，
就意味著無限大的存儲空間，這顯然是不可能的。
因此，有些數學家，如我提過的彭羅斯就認為，這表明了計算機是有致命缺陷的，
而人類的“直覺”不受該定理的限制，所以計算機永遠不可能具有人腦的能力，
人工智能期望中的真正具有智慧的“電腦”，只不過是如“皇帝的新衣”
那樣的“皇帝的新腦”。關於這個問題的詳細情況，可閱讀彭羅斯的《皇帝新腦》。」
引用出處：http://www.eaglefantasy.com/archives/108
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