Re: [分享]科學史 (伍) 後現代數學狀況

看板W-Philosophy作者 (妖精尾巴魔導士)時間13年前 (2011/06/04 01:37), 編輯推噓9(9推 0噓 32→)
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※ 引述《Keelungman (金坷拉是新世界的神)》之銘言： : ※ 引述《puyoyo (madhouse)》之銘言： : : 框架內。哥德爾認為形式語言都面臨著以下困難：“一種語言中的某個句子的真理 : : 概念是不能由這一語言確定的。”[15](p.76)波蘭邏輯學家塔斯基在1933也獨立地 : : 得出這一結論 幫澄清 這不是歌德爾不完備定理 但是有關係 一般稱為"diagonal lemma"或"diagonalization lemma" 內容大致上是這樣的 　在一個初階的算術語言中，對於任一個只有x是變元的式子F(x) 　我們可以證明有一個這樣的句子P，P ←→ F("P") 如果我們的語言有T(x)用來代表"x是真的" 那麼考慮~T(x) 我們就會得到有一個句子P，"P ←→ ~T("P")" : : 。立足於後現代數學語言學的視角下，我們可以清楚地看到西方傳統的邏輯化—理 : : 性化精神本質的內在缺陷。從中更可以看出哥德爾不完全性定理這一20世紀最重要 : : 的數理邏輯成果的後現代里程碑意義。更進一步看，我們認為，哥德爾不完全性定 : : 理的意義已經超出了科學認識論的範疇，而帶有了深刻的人文價值和濃厚的終極關 : : 懷意味，它顯示了人的主體性認識地位的終極性和基始性。 : 在我的理解裡面, 歌德爾不完備定理說: 在一個"夠強"*的形式語言中, : 總是可以找到一些敘述既無法證明為真, 也無法證明為偽 不太對 應該是這樣的 　總是可以找到一些敘述為真，既無法被證明是一個定理 　而且其否定也無法被證明不是一個定理 : *"夠強"的意思是這個形式語言要能蘊含皮亞諾公理 : 也就是說要能建造出無窮多個自然數 -- http://myusername.pixnet.net/blog -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.59.83.110 ※ 編輯: dementia 來自: 61.59.83.110 (06/04 01:41)
推
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感謝指點! 果然還是先弄清楚再下筆比較好 :P
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不客氣 有錯只要改就好了 不是大不了的事 ^____^
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推
06/04 02:22, , 3F
看不太懂你講的耶...
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你的意思是原文中的「一種語言中的某個句子的真...」
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那句話指的不是不完備定理而是對角化引理嗎?
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"diagnal lemma"應該就是"對角化引理"吧
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從原文的下一句話提到Tarski來猜, 好像的確是指到對角
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化...所以也許你可以提一下為何對角化證明了真理概念無
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法由自身語言中確定。
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如果我們把T(x)視為"x是真的" 那麼我們似乎會承認P ←→ T("P") 然後再加上P ←→ ~T("P") 就會得到T("P") ←→ ~T("P") 這只要在承認古典邏輯的推論規則下就會得到 T("P") & ~T("P") 因此矛盾 如果我們拒絕矛盾 似乎就要承認T(x)和"x是真的"不同
推
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另外就是有點看不懂Keelungman講的和你講的差別在哪裡
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"定理"和"真句子"不是同一種東西 定理是以推論規則(含公設和其他定理)推出的結論 更明確地說 推論規則是"只要看到如此這般的句子，就可以寫下那樣那樣的句子" 這是機械式的操作 其中並不涉及"真"的概念 有些推論系統給我們很爛的規則 比方說可以推出矛盾 這種系統大部份人都不要 一個推論系統的規則好還是不好 通常是需要證明的 這屬於後設邏輯(meta-logic)的範圍 一般常見的標準是健全性(soundness)和完備性(completeness) 前者要求所有的定理都是真的 後者要求所有為真的都是定理 ※ 編輯: dementia 來自: 61.59.83.110 (06/04 03:27)
推
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感謝說明... :)
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第一個部份應該就是指 T-axioms 會造成矛盾, 所以它不
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能被等同於真理概念...解說的相當清楚...
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第二個部份我的疑惑是 Keelungman 其實沒用到真概念。
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他說的證明為真可以理解為provable, 而證明為假可以理
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解為refutable, 再理解為其否命題可以provable,
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似乎和你給的描述就差不多了。
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的確可以 也許是因為我對這領域有點接觸 比較挑剔罷了 XD
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推
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結果他刪文了...
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就我聽到的詮釋, Godel在給出不完備定理時是有刻意避
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開真概念, 因為當時的真概念是形上學概念, 又在邏輯實
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阿勒 XD
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証論盛形的那個年代是很有爭議的。而第一不完備定理
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Godel原本的formulation當中只用到proof的概念。
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只是我們現在理解它時, 多半是站在model-proof這關係上
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來看, Tarski的工作帶來了很方便的角度來了解它。
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樓上這麼專業 再聊下去會不會把西哲板變邏輯板阿 XD
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推
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也無妨...邏輯版都是些益智問題和電路問題... XD
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我愛睏 明天再聊 先晚安 (揮手
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我對歷史不熟 M大知道當時的人怎麼理解不完備性定理嗎??
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其實我也不清楚...1930年代對我而言像是一個謎一樣
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只知道當時邏輯實証論正盛行, 然後Tarski開始他的形式
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語義的工作, 哲學界似乎要到1950年之後才有比較精采的
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發展, 也就是當哲學家開始對邏輯實証論感到不滿意時...
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推
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雖然邏輯我接觸的很少，但很謝謝兩位的分享。
06/04 19:33, 34F
推
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現在只記得理髮師悖論算是哥德爾定理的一種簡易的理解方
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式而已。不過，這條定理大概也是被哲學家們誤解最嚴重的
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的數學定理之一。另一個常被哲學家誤解的，應該算是
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海森堡的測不準定理吧。
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推
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不知道兩位可不可以簡易地說明一下哥德爾定理呢?最好用
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像我這種數理低能的人都可以較易理解的方式?
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06/04 22:12, , 41F
說...說來話長 讓我想一下有什麼比較簡短的說法吧 XD
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