Re: [題目] 力學能守恆
※ 引述《BabyFeeling (嗡 班雜薩埵 吽)》之銘言：
: [領域]
: 力學能守恆
: [來源] 網路
: [題目]
: 將總長度 L，有質量，不伸長之繩置於水平光滑桌面上。以手按住，使長度 L∕3 的一段
: 下垂，如右圖。鬆手使繩滑下，則繩完全通過桌緣的瞬間，其速率為何？
: [瓶頸]
: 我知道可以用力學繩守恆來做，
: 但，如果用力學和運動學來做呢？想用微積分來算但不會做。
: 假設每單位長度繩質量為u=m/L
: 露在外面的繩子長度為k，所受的重力F=kug
: F=kug=ma
: (dk/dt)=v
: (dv/dt)=a
: S代表積分符號的話，
: ug*S(vdt)=m(dv/dt)
: 接下來不會做了。
無聊算算
用 k 表示露出桌面，垂下的部分繩子長度
v=k'
a=k"
F=kug=Lua=Luk"
=> k"-(g/L)k = 0 (2nd ODE)
_____
Let √(g/L) = α
=> k = c1*e^(α*t) + c2*e^(-α*t)
=> v = c1α*e^(α*t) - c2α*e^(-α*t)
Let k(t=0) = L/3，v(t=0) = 0，k(t=T) = L，v(t=T) = V
=> c1 + c2 = L/3 --- (1)
c1α- c2α = 0 --- (2)
=> c1 = L/6 , c2 = L/6
由 (L/6)*e^(α*T) + (L/6)*e^(-α*T) = L
得 e^(α*T) = 3±√8
V = (L/6)α(3+√8) - (L/6)α(3-√8)
____
= (1/3)√8gL
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10/23 17:55, , 1F
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