Re: [中學] 一題幾何
※ 引述《SC333 (SC)》之銘言：
: https://reurl.cc/5OlOjv
: 想問計算題第三題
: 謝謝
令 (1) 直徑AB 長度為 d，
(2) α=∠BAD
(3) β=∠ABC
首先，因為AB是直徑，故 ∠ACB = ∠ADB = 90度，
三角形 ACB 以及 三角形 ADB 為兩個斜邊為直徑的直角三角形
接著，從三角形的外角性質我們可以得到 θ= α+β
所以這問題等於是在問妳：sin(α+β)=?
AC+BD = 10 → d(sinβ+sinα) = 10
BC+AD = 20 → d(cosβ+cosα) = 20
上式除以下式： (sinβ+sinα)/(cosβ+cosα) = 1/2
這邊來一招奇技淫巧─和差化積
sinβ+sinα = 2sin( (α+β)/2 )cos( (α-β)/2 )
cosβ+cosα = 2cos( (α+β)/2 )cos( (α-β)/2 )
不管 α=β 或 α≠β，我們都有
(sinβ+sinα)/(cosβ+cosα) = sin( (α+β)/2 )/cos( (α+β)/2 )
= tan((α+β)/2) = 1/2
用公式 sinφ = 2tan(φ/2)/(1+tan(φ/2)^2)，
可得 sin(α+β) = 4/5
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鳳雛的清楚講習
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