Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

看板Math作者 (TPM)時間5年前 (2018/11/10 21:19), 5年前編輯推噓8(8推 0噓 54→)
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小弟感謝版上有許多大神願意為我解釋這個問題，每篇回文我都認真看過了， 現在小弟再總結一下，看是否理解的正確。 第一，無限小的定義是給定一正實數x，若|a|<x恆成立，則a為無限小，而在實 數系中只有0符合這個定義。但在不同的系統中可能會有不同的解釋，像有些是把無限小 當作一個序列在運算，雖然最後求得的極限皆為0，但收縮的速度會有差異。而非標準分 析和超實數中無限小的定義也略有不同，內容太深奧，小弟就不詳述了~ 第二，一個序列的極限可能和序列中任意有限項的性質截然不同，像{1, 0.1, 0.01, 0.001, ...}這個序列各個有限項皆為正數，但這個序列的極限為0，而小弟在原 文中的問題，誤區在於認為極限具有封閉性:0.999...代表的是{1-1, 1-0.1, 1-0.01, 1-0.001, ...}這個序列的極限，而極限的意義在於這個數列所趨向的數字，0.999... 代表的是此數列的極限，故為1；小弟在原文中所取的m與n，實際上代表的是兩個向根號2 嚴格遞增和遞減的序列極限，故m與n為根號2，就算這兩個序列各個有限項皆為有理數，也 不代表極限為有理數。 第三，關於回文中有人提到小學的圓周率是否為定值需要用到極限的概念，小弟 認為太費工了，事實上圓周率就是圓的周長和其直徑的比率，在不同的縮放倍率，圓就有 不同的大小，但周長與直徑比率不變，顯知圓周率為定值，但求值的確需要用到極限的概 念就是了，但我還是感謝您的看法與指教。 從小學到高中，我的數學老師都算是認真盡責的，而台灣的數學教育，小弟認為 雖然不能面面俱到，但也算是不錯。有些人有很崇高的理想，希望教學時能使學生們知道 一些定理的來龍去脈，但我覺得這雖然是很好的想法，但也要考慮到學生們的程度以及意 願，以及課堂是否有充裕的時間，有些學生就是學習意願低落，你和他講解許多，他不但 聽不懂，而且還會覺得你在拖課，這也是教師們的窘境...(一點感想，可無視) 以上是小弟所理解的，若有謬誤請指正，再次感謝各位先前的指教! 補：請問若x<6，則x的最大值要如何表示，它算是實數嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.45.62.49 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1541855991.A.DEA.html
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11/10 21:27, 5年前 , 1F
第一點裡面，如果只考慮從前面建構出的實數系
11/10 21:27, 1F
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11/10 21:28, 5年前 , 2F
是沒有無限小存在，那個定義算是把概念寫出來而已
11/10 21:28, 2F
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11/10 21:28, 5年前 , 3F
必須要延伸出來，才能夠再研究下去，也就是數列等等
11/10 21:28, 3F
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11/10 21:29, 5年前 , 4F
譬如說x趨近於0時，是0，x^2趨近於0時，也是0
11/10 21:29, 4F
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11/10 21:30, 5年前 , 5F
如果只考慮實數系，我們沒辦法去做x/x^2的比較
11/10 21:30, 5F
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11/10 21:31, 5年前 , 6F
這是因為這一步的時候，已經讓分子跟分母為0了
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11/10 21:31, 5年前 , 7F
要注意，當我們做約分的時候，是假設約的東西不為0
11/10 21:31, 7F
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11/10 21:32, 5年前 , 8F
所以如果x是0的話，我們不可以去約分變成1/x
11/10 21:32, 8F
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11/10 21:33, 5年前 , 9F
所以我們必須接受有個東西不是0，才能研究下去
11/10 21:33, 9F
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11/10 21:34, 5年前 , 10F
上面都是在講趨近於0的時候，不過應該不會誤會吧
11/10 21:34, 10F
推
11/10 21:53, 5年前 , 11F
能說成m,n這兩個數列的極限都"是"根號2，是在實數
11/10 21:53, 11F
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11/10 21:54, 5年前 , 12F
已經"建構"完之後的事情；在沒有建構實數之前，
11/10 21:54, 12F
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11/10 21:55, 5年前 , 13F
甚至連"極限"能否"定義"都是問題
11/10 21:55, 13F
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11/10 21:56, 5年前 , 14F
因此實數的建構，是很早就要完成的一件事
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11/10 21:57, 5年前 , 15F
雖然日常生活、更甚至國中數學，會默認實數
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11/10 21:58, 5年前 , 16F
但把實數"說清楚"，是一個最重要的開始
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11/10 22:00, 5年前 , 17F
另外誠心建議，對數學有興趣的話，利用課餘自修
11/10 22:00, 17F
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11/10 22:01, 5年前 , 18F
線性代數，會對高中甚至大學數學必修課都很有幫助
11/10 22:01, 18F
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11/10 22:02, 5年前 , 19F
我是覺得國中只是接受有數線(雖然隱含實數)，但課程
11/10 22:02, 19F
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11/10 22:02, 5年前 , 20F
上跟完全認識實數關係是不大啦，能理解√2就對角線
11/10 22:02, 20F
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11/10 22:02, 5年前 , 21F
，而可以畫在數線上，其實也就夠了
11/10 22:02, 21F
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11/10 22:03, 5年前 , 22F
但到了極限，就有必要理解實數 不過這是高三的事了
11/10 22:03, 22F
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11/10 22:04, 5年前 , 23F
高一的話算是加強邏輯訓練，所以要會證無理數
11/10 22:04, 23F
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11/10 22:04, 5年前 , 24F
老師額外證明0.999..=1，應該也是為了補強他們之前
11/10 22:04, 24F
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11/10 22:05, 5年前 , 25F
證明過少的問題吧
11/10 22:05, 25F
推
11/10 22:06, 5年前 , 26F
關於第三點, 周長的定義其實需要用到極限. 這和
11/10 22:06, 26F
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11/10 22:07, 5年前 , 27F
根號 2 其實很類似, 直觀中好像不會有問題, 但
11/10 22:07, 27F
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11/10 22:08, 5年前 , 28F
要嚴格地處理其實並不是那麼簡單.
11/10 22:08, 28F
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11/10 22:30, 5年前 , 29F
比如有類悖論就是利用對於長度錯誤的直觀, 製造出
11/10 22:30, 29F
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11/10 22:30, 5年前 , 30F
2 = 根號 2 或 4 = pi 之類的錯誤結論.
11/10 22:30, 30F
推
11/10 22:51, 5年前 , 31F
國高中數學大多都是先有個大致概念
11/10 22:51, 31F
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11/10 22:51, 5年前 , 32F
之後再想辦法嚴格證明
11/10 22:51, 32F
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11/10 22:53, 5年前 , 33F
而且很多東西的嚴格證明或定義 比想像中的麻煩
11/10 22:53, 33F
推
11/10 22:56, 5年前 , 34F
ex: 自然數加法乘法有交換律結合律分配律
11/10 22:56, 34F
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11/10 22:56, 5年前 , 35F
國小的時候基本上當成觀察而來
11/10 22:56, 35F
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11/10 22:57, 5年前 , 36F
或是實際化為長度/面積/數量比對
11/10 22:57, 36F
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11/10 23:01, 5年前 , 37F
而皮亞諾公設只用了5條 就能定義所有自然數
11/10 23:01, 37F
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11/10 23:01, 5年前 , 38F
外加一堆和自然數相關的定律
11/10 23:01, 38F
推
11/10 23:05, 5年前 , 39F
整數 有理數 實數 函數 指對數 都有嚴謹的定義
11/10 23:05, 39F
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11/10 23:06, 5年前 , 40F
以這點來說 先知道大概和運作模式 再回頭嚴格定義
11/10 23:06, 40F
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11/10 23:06, 5年前 , 41F
其實不會有很大的問題 畢竟多數人的數學是會用就好
11/10 23:06, 41F
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11/10 23:07, 5年前 , 42F
只有需要更進一步的時候 嚴格定義的好處才會出來
11/10 23:07, 42F
推
11/11 00:43, 5年前 , 43F
其實先學會嚴格地計算比較重要。高中有些題目的詳解
11/11 00:43, 43F
推
11/11 00:51, 5年前 , 44F
並不詳盡，例如#1Rr7Zcn8這篇文章。你一開始提問的
11/11 00:51, 44F
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11/11 00:52, 5年前 , 45F
時候，問題是不清晰的，而你的盲點其實都被那個不清
11/11 00:52, 45F
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11/11 00:54, 5年前 , 46F
晰的語言掩蓋住了，所以你根本發現不了。數學上不太
11/11 00:54, 46F
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11/11 00:55, 5年前 , 47F
容易出現滑坡等邏輯謬誤，但是倒因為果、抽換概念這
11/11 00:55, 47F
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11/11 00:56, 5年前 , 48F
些可是很常見的(當然是說學習的過程中)。
11/11 00:56, 48F
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11/11 00:58, 5年前 , 49F
應該說，嚴格地「敘述問題」與「推理」。
11/11 00:58, 49F
推
11/11 09:35, 5年前 , 50F
詳解不詳盡是寫詳解人的問題 他不是學生不該犯這種
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11/11 09:35, 5年前 , 51F
錯 出了一個詳解很難寫的題目也有些問題 因為學生
11/11 09:35, 51F
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11/11 09:35, 5年前 , 52F
通常寫不出來
11/11 09:35, 52F
※ 編輯: ThePeaceMan (114.45.62.49), 11/11/2018 10:45:35
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11/11 10:48, 5年前 , 53F
問得很好，它沒有最大值。但有最小上界，也就是6
11/11 10:48, 53F
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11/11 10:48, 5年前 , 54F
既然不存在，那就不是實數了
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11/11 10:51, 5年前 , 55F
在這裡可以看到最小上界不一定屬於原集合的例子
11/11 10:51, 55F
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11/11 10:53, 5年前 , 56F
或許該說，就是為了這種狀況，才定義最小上界
11/11 10:53, 56F
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11/11 11:10, 5年前 , 57F
感謝解說，小弟了解了!
11/11 11:10, 57F
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11/11 15:42, 5年前 , 58F
如果寫不出一個實際的形式, 其實不會問它是不是實數
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11/11 15:42, 5年前 , 59F
這裡比較適當的說法是在實數中不存在
11/11 15:42, 59F
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11/11 19:28, 5年前 , 60F
的確，不過我認為他現階段能理解為了處理無限小，有
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11/11 19:29, 5年前 , 61F
各種不同的方式面對也就夠了
11/11 19:29, 61F
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11/11 19:30, 5年前 , 62F
也就是微積分的初步講法
11/11 19:30, 62F
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