Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問
整個問題的核心 就在於 1-0.99999...的直觀上
舉個例子:
1/9=0.111111.....
1/9-0.11111...... 會不會有人說無限小 所以等於0
不會吧 因為直觀上不會說出這樣的說法
但是呢
1-0.99999... 就會有人說出 無限小 所以等於0
因為直觀上好像就差了一點 但那一點就是無限小
但是嚴謹或正式的數學絕對不是這樣
0.1111.... 跟0.99999... 都牽扯到一個定義 極限
不管用級數和或是數列 就是極限
那回到極限的定義 lim an=L iff give ε>0 ∣lim an -L∣<ε for some n
所以說 當你在寫出0.1111.... 或0.999...時 就要清楚的瞭解到
要嘛這個東西要嘛是實數 要嘛就不是實數 而是不是實數 就是極限是否存在
這也是為什麼 有人說0.999...不一定是實數 我覺得很好笑與鬼扯
就是希爾伯特提過的 一個問題一定有是或否的答案
0.999...不可能同時是實數又不是實數 (當然要扯不同topology space就沒意義)
所以 會說0.999...不一定是實數 觀念就很差 把0.999..當成是一個不能處理的東西
舉個例子 在非 hausdroff space空間下 一個數列可能同時收斂到2個點
也就是說 一個數列在合法的定義下有2個極限
所以說 我們處理無限 是用一個有限的定義方式去處理無限
而就0.999...與1的問題 不過就是一個障眼法而已
會把0.999...-1 說成無限小 在我個人認為 真的觀念不夠好
沒有sense 會誤人子弟 說成無限小 不就跟0.0000...000...1是一樣的意思?
真正的無限小 指的是 give ε>0 ∣an∣<ε
請注意 為什麼要用an數列 如果an是常數數列 那an就是0
如果an不是常數數列 那an也是無限小
這個定義真正的內涵是 "要多小 就有多小,比你給的任何數還小"
所以為什麼我說動態的 就是通常是個數列
那如果是0 那就直接說0就好 不需要脫著褲子放屁 說因為無限小 所以=0
0.9999...與1的在實數軸上的距離 就是0 不是什麼無限小 反證法即可輕鬆證明
那為什麼有些人會覺得無限小 就是把0.999.. 感覺那個9會一直多下去
感覺那個9會一直多下去 其實是一種級數和 Sn=9*sum 10^-i 的感覺
所以會覺得有 "愈來愈接近"的感覺 那就是一種錯覺
因為0.9999... 是一個數字 =L 這個數字不會一直動
自然不會用無限小來描述它與1的距離
就像我們不會說0.5與0.5的距離是無限小 會直接說是0
為什麼說沒有sense 就是0.999...基本上這個符號已經描述了極限的過程
所以0.999... 這是一個極限值 如果不用這種觀念 那很多算術沒法做
像0.000000000..... 與1.0000000.... 這兩個如何在不用極限下情況下做減法?
舉個例子在嚴謹的步驟下 5*0.333.... 如何演算?
先證明0.3333... 的極限存在 有界+遞增=L 再證明L=1/3 再計算5*L
所以說 會把1-0.999...講成是無限小的人 觀念就差很多
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