Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

看板Math作者RicciCurvatu (黎奇曲率5566)時間5年前 (2018/11/09 19:03)推噓2(2推 0噓 7→)

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※ 引述《h2o1125 (123)》之銘言： : 整個問題的核心就在於 1-0.99999...的直觀上 : 舉個例子： : 1/9=0.111111..... : 1/9-0.11111...... 會不會有人說無限小所以等於0 : 不會吧因為直觀上不會說出這樣的說法 : 但是呢 : 1-0.99999... 就會有人說出無限小所以等於0 : 因為直觀上好像就差了一點但那一點就是無限小 : 但是嚴謹或正式的數學絕對 give ε>0 ∣lim an -L∣<ε for some n 這東西就是為什麼大家要討論實數完備性你的推理在接受實數完備性下都對沒什麼問題但也有其他公理產生的數系我想大家都只是想表明其他的數系也make sense : 所以說當你在寫出0.1111.... 或0.999...時就要清楚的瞭解到 : 要嘛這個東西要嘛是實數要嘛就不是實數而是不是實數就是極限是否存在 : 這也是為什麼有人說0.999...不一定是實數我覺得很好笑與鬼扯 : 就是希爾伯特提過的一個問題一定有是或否的答案不存在比有理數大比實數小的集合對或錯? 球面不能在剛性運動下分割成兩個大小相等的球面對或錯? 任何公理系統如果相容自然數列都存在某些命題繼不可證真也不可證否這些命題的對錯都相容於原本公理就是哥德爾不完備定理上面兩個命題都是如此第二個問題倚賴於選擇公理 : 0.999...不可能同時是實數又不是實數 (當然要扯不同topology space就沒意義) : 所以會說0.999...不一定是實數觀念就很差把0.999..當成是一個不能處理的東西 x^2+1有沒有解? 在R中你說無解在C中你說有解怎麼可能既有解又無解? 公理系統一改你就有不同的方式去處理無窮數列 : 舉個例子在非 hausdroff space空間下一個數列可能同時收斂到2個點 : 也就是說一個數列在合法的定義下有2個極限 : 所以說我們處理無限是用一個有限的定義方式去處理無限 : 而就0.999...與1的問題不過就是一個障眼法而已 : 會把0.999...-1 說成無限小在我個人認為真的觀念不夠好我相信所有回文的人都懂數學我也看到很多認識的ID 底下也有人給你比較嚴格的描述了難道本版所有東西都要嚴格定義完才能講? 你才真的應該去看看大家都在講甚麼... 非標準分析維基也有如果你還是堅持大家都沒sense 這樣下去是不行的不如.... : 沒有sense 會誤人子弟說成無限小不就跟0.0000...000...1是一樣的意思？我倒是覺得沒什麼好誤的一堆物理學家還在拿不收斂的序列加加減減去證明1+2+3+...=-1/12 不接受嚴格數學就不要唸數學我才覺得跟高中講數學還要硬搬出epison delta才詭異能解釋概念給一般人聽不也是數學系必備的能力嗎? : 真正的無限小指的是 give ε>0 ∣an∣<ε : 請注意為什麼要用an數列如果an是常數數列那an就是0 : 如果an不是常數數列那an也是無限小 : 這個定義真正的內涵是 "要多小就有多小，比你給的任何數還小" : 所以為什麼我說動態的就是通常是個數列 : 那如果是0 那就直接說0就好不需要脫著褲子放屁說因為無限小所以=0 : 0.9999...與1的在實數軸上的距離就是0 不是什麼無限小反證法即可輕鬆證明 : 那為什麼有些人會覺得無限小就是把0.999.. 感覺那個9會一直多下去 : 感覺那個9會一直多下去其實是一種級數和 Sn=9*sum 10^-i 的感覺 : 所以會覺得有 "愈來愈接近"的感覺那就是一種錯覺 : 因為0.9999... 是一個數字 =L 這個數字不會一直動 : 自然不會用無限小來描述它與1的距離 : 就像我們不會說0.5與0.5的距離是無限小會直接說是0 : 為什麼說沒有sense 就是0.999...基本上這個符號已經描述了極限的過程 : 所以0.999... 這是一個極限值如果不用這種觀念那很多算術沒法做 : 像0.000000000..... 與1.0000000.... 這兩個如何在不用極限下情況下做減法? : 舉個例子在嚴謹的步驟下 5*0.333.... 如何演算？ : 先證明0.3333... 的極限存在有界+遞增=L 再證明L=1/3 再計算5*L : 所以說會把1-0.999...講成是無限小的人觀念就差很多我看半天就你還循環論證不知道你知不知道跟烏龜賽跑的悖論實際上如果你要在數線上操作這件事情你就只會一畫點在0.9 0.99 0.999 上永遠不可能畫到1 又或者你蒐集所有比0.9 小比0.99 小比0.999小的全部集合也不會? (x<=0.9999)=/=(x<=1) 在集合的意義下這兩個數就不想等如果你說這兩個數相等不是應該在任何狀況下都要一樣? 為了讓這兩個數相等用d-cut建構時還"特別" 讓有理分割時定義這兩個數相等(有理分割端你講半天的東西就是實數建構下必然的結果所以大家才在講實數建構用無限操作的逼近跟相等你仔細想一想就有本質上的不同體會到這項本質上的不同才有人去做不同的數學想大言不慚的批評別人的數學沒sense 等你拿過幾個獎再說吧 ----- Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z012DA. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 96.32.155.2 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1541761414.A.837.html

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annboy

11/09 19:27, 5年前 , 1^F

11/09 19:27, 1^F

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ERT312

11/09 21:18, 5年前 , 2^F

11/09 21:18, 2^F

以改為閉集感謝 ※ 編輯: RicciCurvatu (96.32.155.2), 11/10/2018 03:02:21

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11/10 07:16, 5年前 , 3^F