Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

看板Math作者RicciCurvatu (黎奇曲率5566)時間7年前 (2018/11/07 22:05)推噓3(3推 0噓 151→)

留言154則, 7人參與討論串4/10 (看更多)

※ 引述《h2o1125 (123)》之銘言： : ※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言： : : 小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭 : : ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。我們先回到國中階段你在做1÷1的時候先裝傻偷偷借位變成1.0÷1 取9余0.1 一直做下去的確可以得到0.99999... 只要你裝傻每次都留0.000..1 或者是國中老師可能也教過 0.9999....*10=9.999999.... 所以9.99999...-0.999999...=9=9*0.99999 兩邊解開就得到0.9999...=1 第二個證明可能好接受一點 : : 由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1 : : 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且 : : m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得無限小的確是說不太清楚應該是要多小有多小也就是說我可以找到一組m n夾住更號2 使他們差距比0.5小嗎? 可以可以找另一組m n 使他們差距比1/4小嗎? 可以你要先給個範圍再去找你要的有理數但不同有理數肯定有個距離妳要讓他們距離更接近更號2 就要再找一組新的而不是說能找到一組有理數說他們距離是無限小 : : 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑! 所以你知道問題了嗎 : _ : 首先 0.9=1 的證明 : _ : 假設 1-0.9=a>0 , a=b*10^n for some 0<b<10,b是正整數,n是整數這裡有個問題為什麼a可以寫成這樣? : _ : 因 0.9=0.9+0.09+... = sum 9^-i from i=1→∞ : choose j<n we have : _ : a=1-0.9> 1- {sum 9^-i from i=1 to j} = 10^j <b*10^n = a : 矛盾其實只要知道 a<0.1 a<0.01 a<0.001 ..... 就行了其實這都有點循環論證了最後問題還是 0.000000....0001到底是不是一個數 : 簡單的說就是如果兩個不相等不相等就有距離有距離就矛盾 : 所以基本上不要用什麼無限小去想太累了 : 第二個你講的方法跟實數完備定理有點關係其實不是實數完備定理是數學家放棄了 0.0000000....0001就是0 一個數如果比任何能寫下的有理數都小那他就只能是0 這不是定理是公理(或是高中說的定義或假設) : 通常逼近根號2是用有理數去逼近但極限落在有理數外 : 用嚴謹一點的數學方式來表達你的想法： : choose series {a}i {b}i such that {a}i↗根號2 and {b}i↙根號2 : 兩個數列一個嚴格遞增跟嚴格遞減 : 把根號2寫成ci*10^i,這樣每一個ci就代表根號2的十進位的位置 : an bn寫成sum ci and an<cn bn>cn for an ,bn 是介於1-9之間的正整數 : 這樣每個an bn都是有理數 : 所以在任何有限 an bn的情況下 an bn與根號2的距離都>0 : 你也沒辦法找到什麼無限小的距離 : 你所謂的 "故我們最後能找到m<根號2<n" 是錯的 : 因為你根本找不到不然你找出來給我看是吧 : an數列跟bn數列就會一直無限的延伸下去但是在有限的n 永遠不會等於根號2 : 這就是觀念的問題嚴格來說是這樣描述 : an是個數列會一直接近根號2 根號2就是an的極限 : 什麼叫an的極限就是an會愈來愈小但an永遠>根號2 bn就反過來 : "故我們最後能找到m<根號2<n" 這個描述是有問題的因為你根本找不到 : 你找到一組有限的M N 之後還有無限個M N : 再來就是無限小基本上數學嚴謹的來說沒有什麼無限小 1就是1 0就是0 : (當然可以定義∞做運算意義不大) : 一般常聽到的無限小是通常是用來描述一個連續的狀態就跟無限大一樣 : 所以不要把無限小或無限大當成是一個點一點數字這是很多人的盲點 : 無限大也一樣無限大還有更大的無限大 EX: ∣N∣< ∣R∣ : _ : 結論就是一開始就錯了 1-0.9不是什麼無限小就是0而已這裡就是問題所在 0.999999....為什麼可以是一個數? 你為什麼能容許一個數列增加無限次然後還宣稱他還是一個實數? 定義上你首先要先說清楚什麼是0.99999... 高微會說這個東西是一個序列 0.9 0.99 0.999 0.9999 這是一個有理數數列這時候才能定義賦距但是兩數距離等於0若且為若兩數相等是"公設" 甚至連賦距本身都有好幾種選取方法(要怎樣比較正有理數的大小?) 有了賦距才有科西序列完備化某個賦距的科西序列才是實數如果挑選其他的賦距也可能完備出p adic 而有理數稠密並不算性質而是我們建構的實數就是他的完備集 : _ : 會把1-0.9 講成是無限小的就沒sense 觀念不嚴謹仔細想想我們定義賦距時只需要把有理數送到一個totally ordered set 並滿足Q scaling跟加法就行了這樣就可以把"無限小"這個數塞進這個set 讓|0.0000...01|="無限小">0 所以0.99999...就不是科西數列了基本上在這樣的定義下你所有的無窮小數都發散所以或許問題不是說"無窮小"是不是0 有沒有sense 而是你要不要使用不能把有理數寫成無窮小數的系統上面那段寫有點飄= = 總之除了p adic之外還有很多方法可以造出一些數系讓0.999...不收斂或是讓他收斂到其他不是 1的數你可以懷疑這是不是好數學但無限小可以很嚴謹我想說的是有理數完備化是一個很有趣的課題高中時候的直覺不一定是錯的當學到其他工具把想法說清楚後其實中間可能會有一些有趣的概念在裡面 ----- Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z012DA. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 96.32.155.2 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1541599551.A.0FA.html

推

jacky7987

11/07 22:19, 7年前 , 1^F

11/07 22:19, 1^F

→