Re: [分析] 試證此極限
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: http://ppt.cc/jUCN
: 試證此極限存在或不存在，若存在，求出極限為何。
: 可以用lim(x->0)sinx/x=1的結果，
: 其他定理如"函數和的極限=函數極限的和"也都可用。
: 本來想用合成函數的極限定哩，但定理的前提不滿足，就不知道怎麼做了
看了以下的討論我覺得問題不在合成函數的limit rule
sin(xsin(1/x) + e^x - x -1)
令 F(x) = ──────────────
xsin(1/x) + e^x - x -1
你想討論 lim F(x) ，然後就要確保這個函數在0附近是well-defined
x→0
但很不幸的 xsin(1/x) + e^x - x -1 在0附近有一堆零點
且裡面有sin(1/x) 也就是說xsin(1/x) + e^x - x -1在0也未定義
那F(x)在那些瑕點(xsin(1/x) + e^x - x -1的零點與x=0) 要怎麼訂就變成你的自由
當然會導致不同的答案
如果你嚴謹化 考慮以下事情：(令g(x)=xsin(1/x) + e^x - x -1 , R是實數)
令S= {0} U {x€R：g(x)=0} , A=R\S (如此一來F在A都well-defined)
則要先證：0是A的一個limit point(with respect to R)
之後才可考慮 F：A→R 此函數的 lim F(x) 是否存在
x→0
----------------------------------------
sinx
令f(x) = ───
x
雖然g：R\{0}→R , f：R\{0}→R
但F(x) = f(g(x))卻不一定在R\{0}上well-defined
-----------------------------------------
btw limit rule確實不需要連續，應該說有兩種版本
可是版本二(2)的hypothesis太雜了 就是要遇到題目後再去設會比較好
寫出general case超醜
總之你要考慮極限或是合成函數的極限 general case會有點雜
(因為極限的定義有關domain , codomain , limit point , 母空間 blabla
合成函數又要考慮well-defined 勢必又要改變原本兩函數的domain)
P.S. 對於一開始的問題把F的domain看作是A後 確實有極限
(1) if g：A⊆M → C with lim g(x) = c , where p€L_M(A) (p是A的聚點w.r.t.M)
x→p
f：C → B is continuous at c€C
then for F:= f。g：A⊆M → B
lim F(x) exists = f(c)
x→p
(2) if g：A⊆M → N with lim g(x) = n , where p€L_M(A)
x→p
f：C⊆N → B with lim f(x) = L , where n€L_N(C)
x→n
and g(A)⊆C
then for F:= f。g：A⊆M → B
lim F(x) exists = L
x→p
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◆ From: 140.114.81.83
推
12/15 18:58, , 1F
12/15 18:58, 1F
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