Re: [分析] 試證此極限
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: http://ppt.cc/jUCN
: 試證此極限存在或不存在，若存在，求出極限為何。
: 可以用lim(x->0)sinx/x=1的結果，
: 其他定理如"函數和的極限=函數極限的和"也都可用。
: 本來想用合成函數的極限定哩，但定理的前提不滿足，就不知道怎麼做了
: 推 LPH66 :這題應該是夾擠吧? 裡面那一串可以夾在 e^x-1 跟 12/09 01:31
: → LPH66 :e^x-2x-1 之間, 然後代回去原式分 x 正 x 負討論一下 12/09 01:32
: → LPH66 :(因為 sinc 的遞增遞減在 0 兩側不同, 不等號要調下) 12/09 01:33
: → LPH66 :應該就能夾出答案來了 12/09 01:33
寫一下好了
由 sinx/x 的微分為 (xcosx - sinx)/x^2 知
sinx/x 在 x=0 的附近時在 0 左邊遞增, 0 右邊遞減
於是由 lim sinx/x = 1 知在 x=0 的附近 sinx/x≦1
x→0
又 xsin(1/x) + e^x - e^ln(x+1) = xsin(1/x) + e^x - (x+1) (令這團叫做 A)
夾在 e^x-2x-1 跟 e^x-1 之間
於是 sinA/A 會比 min{sin(e^x-2x-1)/(e^x-2x-1), sin(e^x-1)/(e^x-1)} 還大
(這由 sinx/x 的偶函數性及剛證明的遞增遞減性質即知)
於是我們有: 在 x=0 的附近
min{sin(e^x-2x-1)/(e^x-2x-1), sin(e^x-1)/(e^x-1)} ≦ sinA/A ≦ 1
兩邊取極限
由於 lim e^x-2x-1 = 1 = lim e^x-1
x→0 x→0
因此 lim min{sin(e^x-2x-1)/(e^x-2x-1), sin(e^x-1)/(e^x-1)} = 1
x→0
由夾擠定理得 sinA/A 的極限為 1 #
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本來推文時想說拿軟體畫圖結果 e^x-1 跟 e^x-2x-1 這兩個邊界
在 0 的兩邊絕對值大小剛好不一樣 所以代進 sinc 要討論一下的
後來邊打字才發現可以直接用 min 帶過去 XD
就請無視我上面講要討論 x 正 x 負的推文吧
是說平常看到 x sin(1/x) 這種東西應該都會想到夾擠吧...?
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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.9.170
※ 編輯: LPH66 來自: 114.41.9.170 (12/09 01:59)
推
12/09 16:13, , 1F
12/09 16:13, 1F
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