Re: [分析] 試證此極限
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 標題: Re: [分析] 試證此極限
: 時間: Wed Dec 11 16:50:04 2013
:
: 看了以下的討論我覺得問題不在合成函數的limit rule
:
: sin(xsin(1/x) + e^x - x -1)
: 令 F(x) = ──────────────
: xsin(1/x) + e^x - x -1
:
: 你想討論 lim F(x) ，然後就要確保這個函數在0附近是well-defined
: x→0
:
: 但很不幸的 xsin(1/x) + e^x - x -1 在0附近有一堆零點
:
: 且裡面有sin(1/x) 也就是說xsin(1/x) + e^x - x -1在0也未定義
:
: 那F(x)在那些瑕點(xsin(1/x) + e^x - x -1的零點與x=0) 要怎麼訂就變成你的自由
:
: 當然會導致不同的答案
:
: 如果你嚴謹化 考慮以下事情：(令g(x)=xsin(1/x) + e^x - x -1 , R是實數)
:
: 令S= {0} U {x€R：g(x)=0} , A=R\S (如此一來F在A都well-defined)
:
: 則要先證：0是A的一個limit point(with respect to R)
:
: 之後才可考慮 F：A→R 此函數的 lim F(x) 是否存在
: x→0
:
請問一下,
令裡面那坨為g(x)
看起來的確：lim [x*Sin[1/x] + e^x - e^{ln(x+1)}] = 0
理由：lim x*Sin[1/x] = 0
lim e^x =1
lim e^{ln(x+1)}= 1
和的極限等於極限的和，得 lim g(x) = 0 + 1 -1 = 0
然後定義 f(x) = sinx/x, x≠0
1 , x=0
然後因為f在 lim g(x)=0 處連續, 所以 lim f(g(x)) = f(limg(x)) = f(0) = 1
由這樣的過程，得到答案為1，過程一路下來，有錯誤之處嗎？看起來蠻嚴謹的。
而g(x)零點不零點，好像不影響Theorem的使用不是嗎？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.44.249.37
※ 編輯: alfadick 來自: 114.44.249.37 (12/11 21:31)
※ 編輯: alfadick 來自: 114.44.249.37 (12/11 21:32)
推
12/11 21:34, , 1F
12/11 21:34, 1F
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12/11 21:55, , 2F
12/11 21:55, 2F
→
12/11 21:55, , 3F
12/11 21:55, 3F
推
12/11 23:10, , 4F
12/11 23:10, 4F
→
12/11 23:10, , 5F
12/11 23:10, 5F
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12/11 23:11, , 6F
12/11 23:11, 6F
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12/11 23:11, , 7F
12/11 23:11, 7F
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12/11 23:12, , 8F
12/11 23:12, 8F
^^^^ 此處應該是筆誤~
應是f以0代入
→
12/11 23:12, , 9F
12/11 23:12, 9F
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12/12 01:03, , 10F
12/12 01:03, 10F
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12/12 01:03, , 11F
12/12 01:03, 11F
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12/12 01:04, , 12F
12/12 01:04, 12F
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12/12 02:17, , 13F
12/12 02:17, 13F
補原點是我為了能用用看合成函數的極限定理而手動技巧性加入的
原題目只有就問這麼樣一個極限而已。定義域顯然是 nature domain
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我看到問題所在了
令g(x)=xsin(1/x) + e^x - e^ln(x+1)
本來 lim g(x) = 0 + 1 - 1 = 0 沒錯 /* 理由：http://ppt.cc/ktn~ */
令S= {0} U {x€R：g(x)=0} , A=R\S (如此一來F在A都well-defined)
為了使 F well-defined，g的就不是R\{0}->R，而是A->R
當g變成A->R, g(x):= xsin(1/x) + e^x - e^ln(x+1) 時，lim g(x) 還是否存在
x->0
問題可能是出在這點上！要確認這點，才能知道是否能使用合成函數的極限定理。
也才有後續是否要把 f 在 0 上定義為1，使f(x)在0連續的考量。
是這樣嗎？
※ 編輯: alfadick 來自: 220.136.61.219 (12/12 11:49)
※ 編輯: alfadick 來自: 220.136.61.219 (12/12 12:00)
所以可能是要轉而去證，是否存在一個0的去心鄰域 I，
使得對於所有x in I， xsin(1/x) + e^x - e^ln(x+1)≠0
※ 編輯: alfadick 來自: 220.136.61.219 (12/12 12:03)
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12/12 13:55, , 14F
12/12 13:55, 14F
喔喔 要證明的話就反證法，
令xsin(1/x)存在一個delta範圍，但發覺居然在delta範圍內的x存在元素使f(x)=0
得到矛盾這樣。
那麼~如果我們想要套用的定理不能用，能不能推論出本題極限就不存在呢
邏輯上有點瑕疵。
(我猜這題極限90%不存在XD)
※ 編輯: alfadick 來自: 220.136.61.219 (12/12 22:56)
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01/02 15:37,
7年前
, 15F
01/02 15:37, 15F
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07/07 11:42,
6年前
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07/07 11:42, 16F
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