Re: [微積] 分部積分

看板Math作者Heaviside (Oliver)時間12年前 (2013/05/15 21:21)推噓1(1推 0噓 14→)

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※ 引述《LuisSantos (但願真的能夠實現願望)》之銘言： : ※ 引述《rebe212296 (綠豆冰)》之銘言： : : 求∫t^4*e^tdt : : 請問怎麼解謝謝! : t : 令 u = t^4 , dv = e dt : 則 du = (4)(t^3) dt , v = e^t : ∫(t^4)(e^t) dt : = (t^4)(e^t) - (4)(∫(t^3)(e^t) dt) : = (t^4)(e^t) - (4)((t^3)(e^t) - ∫(e^t)((3)(t^2)) dt) : (令 u = t^3 , dv = e^t dt , 則 du = (3)(t^2) dt , v = e^t) : = (t^4)(e^t) - (4)(t^3)(e^t) + 12∫(t^2)(e^t) dt : = (t^4)(e^t) - (4)(t^3)(e^t) + (12)((t^2)(e^t) - ∫(e^t)(2t) dt) : (令 u = t^2 , dv = e^t dt , 則 du = 2t dt , v = e^t) : = (t^4)(e^t) - (4)(t^3)(e^t) + (12)(t^2)(e^t) - 24∫(t)(e^t) dt) : = (t^4)(e^t)-(4)(t^3)(e^t)+(12)(t^2)(e^t)-(24)((t)(e^t) - ∫e^t dt) : (令 u = t , dv = e^t dt , 則 du = dt , v = e^t) : = (t^4)(e^t)-(4)(t^3)(e^t)+(12)(t^2)(e^t)-(24)(t)(e^t) + (24)(e^t) + c 來個小教學好了很多人在解分部積分法時都還是使用變數變換法(如原PO) 這裡我從原理下手教大家如何在不使用變數變換法的情況下解完這一題 ※註：表格法在17285篇有說明 #1HK7tf1A (Math) 在此就不贅述了 ----- 另解：由 d(uv)=udv+vdu => udv=d(uv)-vdu => ∫udv = uv-∫vdu 以本題為例可以很快的看出 t^4容易微分 e^t容易積分，且積分後=e^t 亦即 ∫e^t dt=∫d(e^t)=e^t +c 故使用合併法 ∫t^4 *e^tdt =∫t^4 d(e^t)=t^4*e^t - ∫e^t d(t^4) =t^4*e^t - ∫4t^3 *e^tdt =t^4*e^t - ∫4t^3 d(e^t) =t^4*e^t - 4t^3*e^t + ∫e^t d(4t^3) =t^4*e^t - 4t^3*e^t + ∫4*3t^2 *e^t dt 如此反覆下去即可得 ∫t^4 *e^tdt =e^t(t^4-4t^3+12t^2-24t+24) +c為解 ---- 我承認我沒算到完@@ 後面直接用表格法心算了只是據說有學校考試不能用表格法當計算過程所以考試像我這樣寫然後點點點可得解就可以了強烈建議一定要學會表格法否則算完分部積分抬頭一看憲兵已經在講台前等你交卷了(誤) -- Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.243.114.17

推

a29788685

05/15 21:44, , 1^F

05/15 21:44, 1^F

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doom8199

05/15 22:10, , 2^F

05/15 22:10, 2^F

原PO是用變數變換法然後把換完的u&v代入我這邊用了一個trick 在不使用變數變換法的情況下對dt做手腳可以直覺的使用好處是可以避掉在變數變換法時可能會代換失誤 ※ 編輯: Heaviside 來自: 111.243.114.17 (05/15 22:18)

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Vulpix

05/15 22:18, , 3^F