Re: [微積] 積分速算法
※ 引述《Laoda245566 (草莓獸)》之銘言：
: 如題
: 積分有一種速算法
: 左邊微分
: 右邊積分
: 然後左邊第一＊右邊第二
: 以此類推
: 我這樣算ｘｌｎｘ隊ｘ積分 會不對
: 為什麼
此為分部積分法
原理： d(fg)=fd(g)+g(f) => fd(g)=d(fg)-g(f) => ∫fd(g)=fg-∫gd(f)
=> ∫fg'dx =fg-∫gf'dx
可得
欲使用分部積分法時
必須將積分拆成 f(x)和g(x)
且f(x)要容易微分 g(x)要容易積分
以本題為例：
∫xln(x)dx 雖然x容易積分也容易微分 但ln(x)不易積分
故 令f(x)=ln(x) g'(x)=x
1 1
代入可得 ∫xln(x)dx= ──(x^2)lnx(x)- ── x^2 +c
2 4
表格法-速解
若是∫gf'dx難解 又要再使用一次分部積分法時
算式過長 容易筆誤
所以 使用表格法
將易微分項(ex: x^n、lnx)放第一欄 易積分項(ex: exp(x) sin(x)...)放第二欄
以本題為例
口訣 ± 微 積
+ lnx x
↘
- 1/x → 0.5x^2 箭頭是指兩兩相乘
斜的乘 是直接相乘
水平乘 是相乘後對x積分
可得 ∫xlnxdx = 0.5x^2 ln(x) -∫0.5/x dx
若是可繼續微分到0 那就繼續往下微分
若是像本題一樣 一直微分微不盡
那麼 做到此 再從表格法轉成算式即可
Homework ∫x^2 sin(2x)dx
1. 使用分部積分法運算
2. 使用表格法運算
解答(請開燈)：(-0.5x^2+0.25)cos2x+0.5sin2x+c
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