Re: [中學] 高中數學
※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言：
: 1.x、y、z非負實數，x^2+y^2+z^2=4，x^3+y^3+z^3最小值=？
: 答：8√3/3
: 2.a、b、c為正實數，a+b=1, (a+1/a)(b+1/b)最小值=？
: 答：5
底下做法以高中所能用的解法為限
1. 由柯西不等式，(x^3+y^3+z^3)(x+y+z) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2 = 16 --- (1)
且 12 = (x^2+y^2+z^2)(1+1+1) ≧ (x+y+z)^2
故 2√3 ≧ x+y+z --- (2)
合 (1)(2)，x^3+y^3+z^2 ≧ 16/(2√3) = 8√3/3
如同推文所說，所得的結果等價於直接使用一次Holder不等式
a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 (a+b)^2 + (ab)^2 - 2ab + 1
2. (a+1/a)(b+1/b) = -------------------------- = -----------------------------
ab ab
x^2 - 2x + 2 2
= -------------- = x + --- - 2 (＊) (令 x = ab)
x x
由題目條件有 x = ab ≦ [ (a+b)/2 ]^2 = 1/4
上面的表達式當中只看前兩項顯然 x 越接近 √2 越小，但受限於上述條件
在 x = 1/4 時 a=b=1/2 (＊)式取最小值 25/4
PS. 如果要拿出嚴謹證明：
x^2 - 2x + 2 ≧ 25x /4
等價於 x^2 - 8.25x + 2 ≧ 0 ，即 (x-0.25)(x-8) ≧ 0，顯然成立
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