Re: [微積] 請教一題極限
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: <Method 1>
: 1. Prove：e^x/x → inf 當x→inf
: f'(x) = 1 - 1/x > 0 as x > 1
: so f(x) ↑ as x > 1 and f(x) >= f(1) = 1
: Assume f is conv.
: so f is bdd. by M > 1 (if M<= 1 , 與絕對遞增牴觸 )
: so x - lnx = ln(e^x/x) <= M
: => e^x/x <= e^M 與e^x/x無界牴觸(Method 1的第一步)
只需證明 x-ln x>x/2 當x>2時成立就可以。
移項等於證明x/2-ln x>0 當x>2
令f(x)=x/2 -ln x, f(2)=1-ln 2 >0因為 e>2
f'(x)=1/2 -1/x =(x-2)/(2x) >0 當 x>2
所以 f(x) 在 x>2時遞增，f(x)>f(2)>0。
=> x/2-ln x>0 => x-ln x>x/2=> 爆無窮大
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