Re: [其他] 0的0次方

看板Math作者 (XOO)時間14年前 (2011/11/26 09:56), 編輯推噓35(35推 0噓 104→)
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請看 http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ well, 這是個老問題, 有很多點前人都談過了, 不需要浪費自己的生命重複話題。 摘要第一段 1. 有些微積分的教科書, 將 0^0 定成 "indeterminate form" 也就是這個表達式的極限， 並不能直接從表達式推得, 需要另外考慮，也可能是未定義。 2. 否則呢，定義 0^0 = 1 應該是最方便好用的選擇。 3. 以上這兩種選擇，視應用在哪個方面而選擇。 也就是說如果方便的話，在組合的計算定義 0^0 = 1 也無妨，只要說明清楚即可。 在分析學下定義 0^0 = 1 就不那麼方便。 關於 0^0 = 1 ，除了指數律以外，有幾個角度來看也合理。 首先第一個是 ordinal arithmetic [1]，在這個算數系統下， 0 是空集合，1 是 {0}, 2 是 {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, 以此推類。 而我們可以將 ordinal 分作三類（更精簡地其實是兩類）： 1. zero ordinal, 也就是空集合 2. successor ordinal, 是長成像是這樣的 a ∪ {a} (a 是某個 ordinal) 3. limit oridnal, 除了以上兩種的 ordinal，相等於所有比它小的 ordinal 的聯集 其中 a ∪ {a} 習慣上寫作 a + 1 在這套系統下，假設我們都知道怎麼定義加法乘法了，對任意 ordinal a, 指數是定義成 1. a^0 = 1 2. 若 c 是 successor ordinal, 也就是 c = b + 1 則 a^(b+1) = a^b * a 3. 若 k 是 limit ordinal, a^k 則是對所有 a^b (b < k) 的聯集 也就是說, 0^0 是 1, 並沒有排除在外。 第二個是集合的角度，類似上面的習慣，a^b 可以看做是 b 到 a 的函數空間, 而所有空集合為 domain 的函數只有空集合本身, 所以 0 到 0 的函數空間只有一個, 所以 0^0 同構於 1 （在集合上，同構的概念僅表示有一對一且映成的對應，也就是 cardinality 一樣，意義不大） 第三是範疇論 (這個看不懂很正常) [2], a + b 是 coproduct, a x b 是 product, 在 category of ordinals 下, 分別對應加法乘法, a^b 則對應 exponential object, 也就是指數, 所以我們推廣到一般的範疇下, a^b 的"表示"有兩種選擇, 一種是看作 b 到 a 的函數空間（若a, b 都是範疇 C 下的元素) 或是 internal hom, 這個比較複雜點我就不說了; 或者 b 是一個集合, 那麼 a^b 則是代表 a * a * ... * a 的 b-fold products, 也就是有 |b| 個 a 的 product, 具有 C(c, a^b) = Hom(b, C(c, a)) 的關係， 若 b 為空集合, 則 Hom(0, C(c, a)) = 1 = Hom(c, t) natural in c 也就是告訴我們 如果範疇 C 有 terminal object t 的話，a^b 同構於 t 。 通常會把 terminal object t 當作是 1 的（在許多範疇下是一個元素的object）。 我還可以再舉個邏輯跟電腦科學的角度，但其實透過 Curry-Howard-Lambek isomorphism [3] 跟上面這個其實一樣。 [1] T. Jech, Set Theory 3rd, Springer, 2006 [2] S. MacLane, Categories for Working Mathematicians 2nd, 1998 [3] J. Lambek and P. J. Scott, Introduction to Higher-order Categorical Logic, 1988 -- 我一定是寫論文寫瘋了 ... ※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言： : ※ 引述《yee381654729 (Yee)》之銘言： : : 底數為0時，指數律可以有條件成立。 : : 只要不遇到分母為0或0的負數次方， : : 都可以成立。 : : 定義0^0=1在指數律是合理的。 : : x^0=x/x是不合理的。 : : 請問x=x^2/x嗎？ : : 定義0^0=1可以讓指數律在底數為0時有條件成立， : : 並無不妥。 : : 這又不是證明。 : : 無法滿足0的負數次方， : : 為什麼不說0無意義呢？ : : 定義負數次方是正數次方的倒數， : : 就是為了讓指數律成立， : : 難道不是倒果為因嗎？ : : N^0=N/N是你說的。 : : 為什麼不說N=N^2/N？ : : 理論都是人寫出來的， : : 可以直接定義任何數的0次方為1， : : 再定義別的。 : 0的零次方該怎麼定義其實不重要，因為目前的數學根本就用不到。 : (並不是真的把連續性無限上鋼) : N^0=N/N，當N不為零的時候是定義，這是來自於指數律的觀察。 : 對，當N不為零時N^0 = 1的確就是來自於N/N。為何不在N=0時 : 定義N^0=1呢?這是為了避免討論0/0，在數學裡0/0是沒有意義的。 : 0是沒有乘法反元素。如果你在某個領域看到0^0=1，那應該只是為 : 了方便記成這樣，否則，照目前的數學來看，他沒有被定義的必要性。 : 既然目前的數學界傾向於不去定義他，這個問題就沒有爭論的必要性。 : 基本上一個沒有定義的東西，是可以人為定義的，你想怎麼定合理就 : 可以。有時候只是notation寫成那樣。 -- XOO's http://xcycl.wordpress.com/ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 82.36.121.236 ※ 編輯: xcycl 來自: 82.36.121.236 (11/26 09:58)
推
11/26 10:00, , 1F
可是我想同構跟他想要表達的數字1是有相當的差距XD
11/26 10:00, 1F
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他想要說的就是他真的是1
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11/26 10:01, , 3F
數字 1 在 axiomatic set theory 底下是 {0} :)
11/26 10:01, 3F
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11/26 10:10, , 4F
極限不存在，定義函數值，又不會產生什麼問題。
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11/26 10:11, , 5F
放任它不管，才是不方便，要用的時候也不敢用。
11/26 10:11, 5F
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11/26 10:46, , 6F
是說我還真沒看過哪裡會用到 0^0 的..
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11/26 10:54, , 7F
定義0^0=1的原因是將那兩個0看成同個範疇中的元素
11/26 10:54, 7F
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11/26 10:55, , 8F
但也沒說一定要這樣看....
11/26 10:55, 8F
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11/26 10:55, , 9F
所以大家都有共識覺得 0^0=1 無所謂,但也不會去強調
11/26 10:55, 9F
推
11/26 11:06, , 10F
推~
11/26 11:06, 10F
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11/26 11:25, , 11F
你自己也講了"又不會產生什麼問題" 相對的不特別強調
11/26 11:25, 11F
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11/26 11:25, , 12F
他的定義也不會產生問題阿~倒是你是不是該解釋為什麼
11/26 11:25, 12F
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11/26 11:26, , 13F
"放任它不管，才是不方便"?前面已經一堆人說過目前沒
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11/26 11:26, , 14F
有需要用到的地方了 何來"要用的時候也不敢用"?
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11/26 11:27, , 15F
現在是你在堅持0^0就必須是1 又說不出可以說服大家的
11/26 11:27, 15F
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11/26 11:28, , 16F
合理理由 我倒是覺得回文的前輩們都太仁慈了 沒叫你
11/26 11:28, 16F
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11/26 11:29, , 17F
回去反省還寫文章幫你上一上代數課
11/26 11:29, 17F
推
11/26 12:27, , 18F
都喜歡數學 不用叫人去反省吧
11/26 12:27, 18F
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11/26 12:27, , 19F
倒是這個話題能引出人來講範疇觀點真是賺到了 xDDD
11/26 12:27, 19F
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11/26 13:40, , 20F
我是指他的態度 不過你說的沒錯 我有點被激怒到了
11/26 13:40, 20F
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11/26 13:43, , 21F
我是覺得他太自以為才不爽 不過講出這種話的我也有點
11/26 13:43, 21F
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11/26 13:43, , 22F
變得太自以為了
11/26 13:43, 22F
推
11/26 14:13, , 23F
很厲害的觀點 對只會極限的人來說應該是看不懂
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11/26 14:23, , 24F
後兩種定義方式感覺像在代數上定義{0}+N的指數型態
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11/26 14:24, , 25F
從而直接避開負指數出現的問題 定義0^0就不會有特例
11/26 14:24, 25F
推
11/26 14:32, , 26F
這跟分析是不同的觀點,分析是考慮所有"可能的零"
11/26 14:32, 26F
→
11/26 14:32, , 27F
範疇觀點則是將兩個零限制在同一範疇下
11/26 14:32, 27F
→
11/26 14:33, , 28F
其實範疇厲害的還不只是定義0^0,他甚至還定義一個
11/26 14:33, 28F
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11/26 14:34, , 29F
cardinality = e 的集合, 還可以玩group action等等
11/26 14:34, 29F
推
11/26 14:42, , 30F
不過範疇化的小缺陷是這樣很難定義"負數"
11/26 14:42, 30F
→
11/26 14:42, , 31F
恩 我的意思是 即使在這種觀點 仍然需要自行定義某些
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11/26 14:42, , 32F
因為這樣會導致每個object都是initial
11/26 14:42, 32F
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11/26 14:43, , 33F
如 通常會把 terminal object t 當作是 1
11/26 14:43, 33F
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11/26 14:43, , 34F
以及定義本身已限制在∣b∣>=0
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11/26 14:45, , 35F
我是覺得會把0^0未定義 主要是因為允許指數有負型態
11/26 14:45, 35F
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11/26 14:47, , 36F
因為定義a^0=1的關係=>允許a^(0-1)表示inverse of a
11/26 14:47, 36F
推
11/26 14:50, , 37F
我覺得未定義的原因是量綱的問題....
11/26 14:50, 37F
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11/26 14:52, , 38F
恩 不知道啥是量網 a^n不過就是我們自己定義的符號
11/26 14:52, 38F
推
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量綱就是單位啦XD
11/26 14:53, 39F
還有 60 則推文
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11/26 22:16, , 100F
不過這讓我想起　曾叱吒風雲出版宇宙四部曲的蔡某XD
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11/26 22:16, , 101F
你既然這麼藐視這麼學問 那是還有什麼好說的
11/26 22:16, 101F
推
11/26 22:17, , 102F
哈哈~~推condensed...有好感
11/26 22:17, 102F
→
11/26 22:17, , 103F
我沒有全盤否定，只要做個小修正。
11/26 22:17, 103F
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11/26 22:18, , 104F
打錯了~~~是有同感~~~...
11/26 22:18, 104F
推
11/26 22:19, , 105F
0^0 可以做重整化嗎?
11/26 22:19, 105F
推
11/26 22:19, , 106F
你根本不知道我們說的代數是什麼 是要修正什麼?
11/26 22:19, 106F
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11/26 22:19, , 107F
重整化之後 會變成 \0 0/
11/26 22:19, 107F
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11/26 22:20, , 108F
就算你只用中學算數 整天扯二項式定理的零次項也很荒
11/26 22:20, 108F
推
11/26 22:20, , 109F
可能是0^0重整化之後會變成0.0或⊙ ⊙
11/26 22:20, 109F
→
11/26 22:20, , 110F
謬 你如果一項一項乘開去看的話最好0^0不是1會有差啦
11/26 22:20, 110F
推
11/26 22:21, , 111F
我覺得 我跟你的重整化方法不一樣 ＠＠
11/26 22:21, 111F
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11/26 22:21, , 112F
0^0=(1-1)^0=C(0,0)*1^0*(-1)^0=1
11/26 22:21, 112F
推
11/26 22:22, , 113F
只要合理，甚麼樣的重整化都行呀XD
11/26 22:22, 113F
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11/26 22:23, , 114F
1=2^0=(2+0)^0=C(0,0)*2^0*0^0=1*0^0,0^0=1
11/26 22:23, 114F
推
11/26 22:24, , 115F
蔡某 娛樂價值(+∞)>>學術價值(0)>>教育價值(-∞)
11/26 22:24, 115F
推
11/26 22:24, , 116F
0^0=0^(1-1)=0^(0^0-1)=0^(0^(0^0-1)-1)=...........
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11/26 22:25, , 117F
0^(0^(0^0-1)-1)=0^(0^(0^(0^(.........-1)-1)-1)-1)
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11/26 22:25, , 118F
同理可證 p.s. 這是很好的調劑 請別搞錯方向了 :P
11/26 22:25, 118F
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11/26 22:27, , 119F
一寫東西就顯示出自己的程度，連二項式定理都寫錯。
11/26 22:27, 119F
推
11/26 22:29, , 120F
天才 你寫的會對的話那連wiki的二項式定理證明都是錯
11/26 22:29, 120F
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11/26 22:29, , 121F
的了耶 要不要重新證明一下阿zzz
11/26 22:29, 121F
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11/26 22:32, , 122F
還是0什麼時候變成正整數了我不知道?
11/26 22:32, 122F
→
11/26 22:33, , 123F
我要收回我說的話 不要去看代數 你先備知識不夠的
11/26 22:33, 123F
推
11/26 22:34, , 124F
數學板好可怕喔 程度不夠會有些人極盡所能地酸、叫罵
11/26 22:34, 124F
→
11/26 22:36, , 125F
阿 對不起 這點我得道歉 因為我前面跟他的對話有點被
11/26 22:36, 125F
推
11/26 22:36, , 126F
真的喔 物理板也好可怕喔 某蔡和某Discovery提出革命
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→
11/26 22:36, , 127F
他弄到發怒了 有點失去理智 抱歉
11/26 22:36, 127F
→
11/26 22:37, , 128F
性的理論 都被批的體無完膚XD她們的精神與勇氣真偉大
11/26 22:37, 128F
→
11/26 22:38, , 129F
我覺得和先備知識不一定有關係啊
11/26 22:38, 129F
→
11/26 22:39, , 130F
不是每個先備知識不夠的人 都會變成某蔡
11/26 22:39, 130F
推
11/26 22:39, , 131F
對啊!Discover還直接罵人QQ
11/26 22:39, 131F
推
11/26 22:42, , 132F
我期待數學板即將面對的衝擊--東方數學四部曲
11/26 22:42, 132F
推
11/26 22:46, , 133F
蔡好像有打算出微積分的書耶
11/26 22:46, 133F
推
11/26 22:49, , 134F
應該請yee381654729板友,PO一下到底要用在哪裡
11/26 22:49, 134F
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11/26 22:49, , 135F
不定義又會在哪裡遇到什麼嚴重的問題
11/26 22:49, 135F
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11/26 22:50, , 136F
一直亂放話,卻又提不出證據,這樣是很沒品的行為
11/26 22:50, 136F
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11/26 22:50, , 137F
不如把你的論述另開一篇專文,讓大家開開眼界吧
11/26 22:50, 137F
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11/26 22:51, , 138F
不然,yee381654729的話應該也就沒有回應的價值了
11/26 22:51, 138F
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11/26 22:52, , 139F
即刻起，請停止在本文推文！
11/26 22:52, 139F
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