Re: [理工] 複變
y※ 引述《murray5566 (睡覺睡到自然醒)》之銘言：
: 題目1:
: dx/(1+sin^2(x)) 從0積到pi
: 我把sin^2(X)換成cos2x
: 範圍剛好是0到2pi型成封閉曲線 且
: 我利用z=e^(ix)
: 整個式子變成
: integral 2dx/(3-cos2x) 封閉路線為半徑為1的圓 圓心為原點
: 我利用z=e^(ix)
: 換一換之後 分母有Z的4次方
: 不知道怎麼求根
: 懇請解惑
: Q2 integral F(k)exp(ikx)dk 從負無限 積到 無限=1/(1+x^3)
: find F(k)
2 dx
∮──────
c 3 - cos2x
2 dz
= ∮ ─────────── ──
c 3 - (z^2 + z^-2)/2 iz
-4i
= ∮ ────────── dz
c z (6 - z^2 - z^-2)
-4iz
= ∮ ─────────── dz
c ( 6z^2 - z^4 - 1 )
4iz
= ∮ ───────── dz
c z^4 - 6z^2 + 1
解分母方程式其實是在解 z^2 的二次方程式
z^2 = q
2 6 ±√32
q - 6q + 1 = 0 , q = ──────── = 3 ±√8
2
所以 z^2 = 3 ±√8
2
z = 3 + √8 > 3 + 2 = 5 , z = ±√5 > 1 ,所以這兩組 z 沒有在半徑內 !!
另一組
2
z = 3 - √8 > 0 , 因為 0 < 3 - √8 < 1 , z 值必小於 1
所以 z = a ±b , ( b > a )
再來就是利用 Residue thm
4iz
= ∮ ───────── dz = 4i * ∮ F(z) dz = 2πi * 4i *Σ Res{ F(z) }
c z^4 - 6z^2 + 1 c
in the unit circle
z │ z │
= -8π * [ ────────│ + ──────│ ]
4z^3 - 12z │ 4z^3 - 12z │
z = a+b z = a-b
但是真的需要算出 a , b 的值嗎?
其實看分子分母就知有好康
2 2 π
= -8π* ( ────── ) = -8π*( ───── ) = ───
4z^2 - 12 4(3-√8)-12 √2
Note: 此積分是積分一整圈圓，但是上下限才 0 ~ π , 並非 -π ~ π
所以記得 除2 喔!
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07/22 10:41, , 1F
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