[理工] 複變
∞ ln(x^2 + 1)
求 ∫ ─────dx
0 x^2 + 1
[解答算法]
∞ ln( x + i ) 0 ln( x + i ) ∞ ln( x + i )
∫ ─────dx = ∫ ─────dx + ∫ ─────dx :拆開極限
-∞ x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
↑
可用殘數法 ∞ ln(-x + i ) ∞ ln( x + i )
= ∫ ─────dx + ∫ ─────dx :變數變換
0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
∞ ln(-1) + ln( x - i) + ln( x + i)
= ∫ ────────────────dx :分解ln
0 x^2 + 1
∞ ln(-1) + ln( x - i)( x + i)
= ∫ ────────────────dx :合併ln
0 x^2 + 1
∞ ln(-1) ∞ ln( x^2 +1)
= ∫ ─────dx + ∫ ──────dx
0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) ∞ ln(-1)
∫ ──────dx= ∫ ──────dx - ∫ ──────dx :移項
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
[我的算法]
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) ∞ ln( x - i )
∫ ──────dx= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :分解ln
0 x^2 + 1 0 x^2 + 1 0 x^2 + 1
∞ ln( x + i ) 0 ln(-x - i )
= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :變數變換
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
∞ ln( x + i ) 0 ln( x + i ) + ln(-1)
= ∫ ──────dx + ∫ ──────────dx
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
∞ ln( x + i ) 0 ln(-1)
= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :合併極限
-∞ x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) 0 ln(-1)
∫ ──────dx= ∫ ──────dx + ∫ ──────dx
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 -∞ x^2 + 1
可是比對[解答算法]
∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) ∞ ln(-1)
∫ ──────dx= ∫ ──────dx - ∫ ──────dx
0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
其中
0 ln(-1) 偶函數 ∞ ln(-1)
∫ ──────dx = ∫ ──────dx
-∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1
為什麼差個負號呢?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 36.227.84.100
→
01/08 20:14, , 1F
01/08 20:14, 1F
→
01/08 20:17, , 2F
01/08 20:17, 2F
→
01/08 20:23, , 3F
01/08 20:23, 3F
推
01/09 00:39, , 4F
01/09 00:39, 4F
推
01/09 02:07, , 5F
01/09 02:07, 5F
→
01/09 11:43, , 6F
01/09 11:43, 6F
推
01/09 12:05, , 7F
01/09 12:05, 7F
→
01/09 12:06, , 8F
01/09 12:06, 8F
→
01/09 12:12, , 9F
01/09 12:12, 9F
剛又想了一下
ln(-1) = -ln(-1) = ln(-1^-1).......真的一樣
不過
ln(-1)=ln(e^iπ)=iπ ≠ -ln(-1)=-ln(e^iπ)=-iπ 是為什麼?繞過了支切嗎?
※ 編輯: five5six6 來自: 36.227.89.19 (01/09 12:27)
推
01/09 12:55, , 10F
01/09 12:55, 10F
討論串 (同標題文章)
以下文章回應了本文：
理工
3
4
完整討論串 (本文為第 15 之 18 篇)：
理工
1
11
理工
2
2
理工
2
7
理工
0
1
理工
1
5
理工
0
6
理工
0
1
理工
1
1
理工
3
4