Re: [理工] 複變

看板Grad-ProbAsk作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間11年前 (2013/01/13 00:52)推噓3(3推 0噓 1→)

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※ 引述《five5six6 (_( 3」∠)_)》之銘言： : ∞ ln(x^2 + 1) : 求 ∫ ─────dx : 0 x^2 + 1 : [解答算法] : ↑ : 可用殘數法 ∞ ln(-x + i ) ∞ ln( x + i ) : = ∫ ─────dx + ∫ ─────dx :變數變換 : 0 x^2 + 1 0 x^2 + 1 : ∞ ln(-1) + ln( x - i) + ln( x + i) : = ∫ ────────────────dx :分解ln : 0 x^2 + 1 : [我的算法] : ∞ ln( x + i ) 0 ln(-x - i ) : = ∫ ──────dx + ∫ ──────dx :變數變換 : 0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 : ∞ ln( x + i ) 0 ln( x + i ) + ln(-1) : = ∫ ──────dx + ∫ ──────────dx : 0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 : 可是比對[解答算法] : ∞ ln( x^2 +1) ∞ ln( x + i ) ∞ ln(-1) : ∫ ──────dx= ∫ ──────dx - ∫ ──────dx : 0 x^2 + 1 -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1 : 其中 : 0 ln(-1) 偶函數 ∞ ln(-1) : ∫ ──────dx = ∫ ──────dx : -∞ x^2 + 1 0 x^2 + 1 : 為什麼差個負號呢? --- 當你寫下 ln(x^2 + 1) = ln(x+i) + ln(x-i) 的時候就該定義清楚何謂 ln(x+i) ? ,何謂 ln(x-i) ? 例如我定義 branch cut 為 │Im(z)│ ≦ 1 解答寫法中的 ln(-x+i) = ln(-1) + ln(x-i) , x in (0,∞) ^^^^^^^^ ^^^^^^^ 第二象限第四象限可知 ln(-1) = iπ 但你的寫法中, ln(-x-i) = ln(-1) + ln(x+i) , x in (-∞,0) ^^^^^^^^ ^^^^^^^ 第四象限第二象限可知 ln(-1) = -iπ ===== 當用複變算瑕/定積分時，一定要先定義好 contour 走向 or 使用多值函數的哪支 branch 來計算解答的寫法有時候是補習班一直再算類似的題型到最後懶的去界定範圍而沒列出來但實際上若沒先定義好，就直接寫 ln(-x+i) = ln(x-i) + ln(-1) 這樣子等號是不成立的，因為 "無意義" -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.137.81.144

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doom8199

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