Re: [解題] 高一數學多項式

看板tutor作者condensed (heuristics)時間12年前 (2013/11/01 12:19)推噓3(3推 0噓 7→)

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透過這篇說點自己的想法，有些有關，有些無關，不一定是相左或衝突，只是說說自己意見。 ※ 引述《arist ( 在他方 )》之銘言： : ※ 引述《AirWall (空氣牆)》之銘言： : : 1.年級：高一 : : 2.科目：多項式 : : 3.章節： : : 多項式 : : 4.題目： : : x^2-1 : : --------- 是不是多項式 : : x+1 : : 5.想法： : : 最近因朋友拜託緣故，接了高一生數學， : : 太久沒碰很多都忘了， : : 這題答案is"不是" : : 想請問為什麼不能約掉來看呢? : : 是因為約掉後的式子意義和原本的式子意義不同嗎? : : 這該怎麼解釋? 有時教學的困難，是在於： (1)因材施教 (2)因地制宜每個學生特質以及學習需求不同。開始當家教時容易以自己的角度去思考什麼方式才是對於學習這個科目最有利的。伴隨時間經驗累積，漸漸覺得實則不然。把自己心中理想化的教學，套到自己理想化的學生身上，只有在恰巧那位學生是自己的理想化學生時才洽當，塑造他成為自己理想中的學生，卻不一定對他比較好。舉個例子是，一個要學游泳的人，可能只是要讓自己免於溺水，也可能是要成為奧運國手，這兩種動機需求就不一樣。但是身為教師，如果提供的和學生需要的不同，就不見得對他有較好的幫助。這是為什麼我用來提醒自己的教學原則裡，會把教學內容的專業性放在最後一個的原因。如果這不是他要的，很可能就只是一種負擔。對一個肯用心在教學內容裡下功夫的教師來說，教學的專業性也許不是最困難的，正如Feynman也說過，一旦搞清楚教這門課的目的是要給學生什麼，教學就成了簡單的事情。但是Feynman自己也對教學不滿意，也有所掙扎。因為顯然他自己也清楚，很難去滿足所有學生。會在這裡提到這個的原因，在於家教和帶班級不同。家教通常是一對一，很客製化，這時候你比較難有藉口。如果你的學生不適合你的教學，你很難再把你的教學理念搬出來。所以，無論教學再怎麼理想，都有個前提，學生恰巧是那個理想化的學生。簡言之，不是每個學生都有閒花這麼多時間細細品味教師覺得有趣的東西。如果你只是要從不會到會，而不是從不會到精；就算是物超所值你也不見得願意接受的。如果我搭個計程車趕時間，就算司機要免費教我如何駕車，也會造成我困擾的。如果學生每天除了數學，還有國文、英文、物理、化學、生物，加之自己喜歡的社團活動、聚餐、約會等，對他來說以最有效率的方式取得可以升學的成績，可能才是最重要。對學習最有利的教學，不見得是對學生最需要也最有利的。只是做這一行的人，很自然會把這個看得比較重，也希望獲得較多的重視。然而這往往是身處這個職業的人的角度，而不是那個學生的立場。 : 分享一下，我在教學時，不會只給個學生答案。 : 首先要幫學生建立一個概念 : XXX 是不是 OOO 的問題都不是數學問題。 : 諸如學校很喜歡考 XXX 是不是函數之類的、ＯＯＯ是不是隨機變數 : 就如同費曼的這個故事： : : 在夏天的週末,費曼的父親會帶他到山上的樹林裡漫步,並且告訴他樹林裡所進行的各種 : 有趣的事情。其他鄰居的母親們覺得這是很美好的事,所以也要她們的丈夫帶她們的小 : 孩到樹林裡漫步。 : 後來他們小孩們在野外玩耍,其中一個小孩對費曼說:「看到那隻鳥兒嗎?那是甚麼鳥啊?」 : 費曼回答說:「我是一點也不曉得那是甚麼鳥呢。」 : 那小孩道:「那是褐喉歌鶇。你的爸爸真的是啥都沒有教你!」 : 其實他的父親說:「牠是史朋塞鳴禽,在意大利牠叫另一種名字,在葡萄牙、中國、日本, : 牠各有不同的名字。你可以學知那種鳥兒在世界各國的名字,但,學會了那些名字, : 你對那種鳥兒依舊是一無所知。你所知道的,衹是人類在世界各地如何稱呼這鳥兒而已。 : 所以, 還是讓我們看看那鳥兒到底在做甚麼吧,因為那才是重點。」他接著說:「例如說, : 你看那鳥兒一直在啄牠的羽毛。你看,牠走來走去,在啄牠的羽毛。」以我自己的角度，我完全同意這種啟發式教學。但是在另一方面，對於這種教學是不是對所有學生都好，我持保留態度。對於Feynman是很好的，但是換了一個人，也會成為Feynman嗎？我是存疑的。這樣的故事很勵志，也確實能提醒一下教學的另一種極端，特別是在台灣現在的升學導向的教育環境風氣裡，我也曾經以為這就是最好的教育和學習方式，可是當自己經驗漸漸累積，我才發現教育真正的困難就在於不是「每個環境」和「每個個體」都適合這樣子的。我不是想說某一種教學比較好或不好，與此相反，我想說的是對於家教，可能沒有哪一種方式是最好的，只有相對比較適合那位學生的。所以我不想去塑造一個假象，讓家長或學生以為有某一種教學比較優越。因為當我們從理想中清醒過來，走入現實的時候，會發現全然不是這麼一回事。現實有現實的因素要面對，我們可以提升自己的專業去滿足更多學生的需求；但是無法因此去減少現實中要面對的因素：包括：每個人一天只有24小時、除了數學還有很多其他有趣的事、升學看各科成績等。 Feynman當然很聰明，什麼東西都追根究柢，但我相信像他一樣充滿好奇心的人也很多，卻不是每個有好奇心的人都有能力成為Feynman。我想這對很多在他的專業領域中的佼佼者也會同意。有不少物理學家都覺得，Feynman在他的自傳裡隱藏了太多自己的天才。三傻的電影我也看過，經過朋友推薦，第一次完整看完時，我也頗喜歡的。因為內容很有共鳴，我也曾經體驗過那些教育體制裡的種種弊病，也曾在體制裡叛逆。但是積極一點來說，我不會為了勵志學生，要他們把電影看得過於認真。因為電影總是比較簡單的。如果做自己想做的，成功就能伴隨而來，這種成功就不會這麼稀有或讓人佩服了。或許當學生相信這句話會更努力，但是只給這種不合實際的希望，就是正確的嗎？魏德聖和李安成名的同時，世界上會沒有其他同樣具電影熱情的導演？我不相信。而那些同樣具熱情的導演，只要做自己想做的，也一定會成名？我也不相信。但是這裡要澄清的是，我不是指：一定不會成名。而是不相信每個人都一定會成名。三傻的結局搬到現實中，其實是打自己在開局的臉。因為成功的定義建立在名利的追逐上時，才衍伸出了功利主義的教育。如果不把成功建立在僅只是名利上，才可能看到名利以外的價值。偏偏在結局又把名與利做為證實自己的成功來收尾。形同是在說，你只要做自己喜歡的，名利就會追著你來。那其實還是一種變相的在追逐名利。我無意批判追逐名利的好或壞，只是，我不同意只告訴學生最好的結果對他才是最好。我認為理想和現實都是必須的，我們要告訴學生最好的打算，也要告訴他最壞的打算。讓他自己也能參與到對自己的選擇負責，因為別人是沒有資格去幫他負全責的。身為教師，能做的只是從經驗上告訴他會有哪些可能的結果；以及幫助他更容易達到他想達到的目的。你想追逐什麼，可能有某些方法比較容易成功，某些方法比較容易失敗。對小孩的教育不能只給希望，卻誤導他忽略現實。如果教師只挑符合理想化的學生來教，以上一切的考慮就是多餘。下面就只是建立在如果是這樣子的學生來討論： : : 所以呢，我來假想一個很理想的對話情境 : Ｓ：「這題 (x^2-1)/(x-1) 為何不是多項式？」 : Ｔ：「他是不是多項式我也不是很清楚，要看我們用哪個版本的說法。」 : Ｔ：「但我們先不管他是不是多項式，我們先來欣賞一下這函數的特性。」 : Ｓ：「噫，這個可以約掉成 x+1」 : Ｔ：「真得可以約掉嗎？、約分是做什麼事？是什麼意思？」 : Ｓ：「分母不能為 0 才能約！、那 x/x 不等於 1 囉？」 : Ｔ：「x/x 在 x 不為 0 時才能約。」 : Ｓ：「所以這函數有漏洞，會斷掉，不會連在一起？」 : Ｔ：「『連在一起』是重點。」 : Ｔ：「多項式之所重要：就是簡單有很好的結構，其中一個好特性就是連續。」 : Ｓ：「連續有什麼重要的呢？」 : Ｔ：「連續讓我們可以比較容易掌握他的行為，不會突然暴走」其實這一段如果學生沒有發問，我就會主動問學生。用一個名詞來答覆，並沒有比較理解意涵啊。為什麼0/0很嚴重　->　因為不連續　-> 為什麼連續重要？ -> 因為不會暴走只是在不同卻等價的名詞之間轉換，對於究竟為什麼名詞背後代表的意義可以反映是否嚴重，依舊沒有回答。就像有人問這動物會飛 -> 因為是一種鳥類　-> 為什麼鳥類會飛　-> 因為鳥類有翅膀聽起來好像回答了問題，學生也覺得知道答案了，鳥類有翅膀所以會飛。可是真的知道鳥為什麼會飛？至少我是覺得和前面Feynman的故事裡，回答名子類似，沒有讓我們對鳥為什麼會飛有更進一步的了解。只是換了一個等價的定義來取代另一個定義。而且是一個對鳥類的行為沒有任何深入了解的人都能給出的回答。所以如果要讓學生真正理解，就要說清楚究竟什麼是暴走以及為什麼很重要。同時我必須說，再怎麼理想的學生，也不可能每個題目我都用這種方式教學。因為要學的東西很多，重要的東西也很多，如果任何細節都要深究，都要學生花大量時間，進度會十分緩慢。所以在教學上，一定會有取捨。什麼是比較重要的，需要多花點時間，很多時候只能是教師自己主觀判斷和選擇的。 : Ｓ：「所以我們只要知道他的現在的行為，就可以推估他接下來的行為？」 : Ｔ：「大致感覺是這樣的，「堪根定理」就是用到這樣的特性來找根。」 : Ｓ：「堪根定理，聽起來很難耶？」 : Ｔ：「堪根定理的應用就像我這個胖子都讓我可宣稱我曾經 50 kg 過。」 : Ｓ：「你曾經50kg，很久以前吧！」 : Ｔ：「對啊，但就是曾經有過，也沒有說天長地久。」 : Ｓ：「那不連續，就不保証這樣的事情了嗎？」 : Ｔ：「你看 y=(x^2-1)/(x-1) 曾經讓他的 y 值等於 2 嗎？」 : Ｓ：「曾經的意思是指什麼？」 : Ｔ：「函數裏面 x 的意涵大多是指時間，所以問何時，通常是問 x 為何？」 : Ｓ：「在 y=x+1 這函數時，x 為 1，y 就等於 2」 : Ｓ：「可是，x=1 無法代入 y = (x^2-1)/(x-1) 變成 0/0 ！」 : Ｔ：「出現，0/0 可是會讓電腦當掉。」這裡同上，仍然沒有說明0/0為什麼會讓電腦當掉。如果學生滿足於這種結論，只要一開始指明x=1　y=0/0不就好了嗎？如果真的覺得這件事情很重要，我就會告訴他 0/0　究竟會怎樣　，而不是會只是告訴他「暴掉」這樣子聽起來好像有感覺，實則含糊的概念。例如從數學上，我們知道除法運算是從乘法定義來的，因此只要將等式還原成乘法的表示，對於0/0何以不存在，就顯而易見了。　我覺得過度偏重過程或答案，都是不洽當的。答案與過程都重要。尤其是科學教育，就是在追求真實。牛頓力學對日常生活足夠用，但是當我們要驗證與相對論力學有不同預測的現象時，答案當然很重要。因為他會讓我們決定相對論要被捨棄或保留。在相對論被保留的同時，可能有無數的理論被捨棄。牛頓力學能被保留在於他是相對論的近似，所以能合乎適用範圍。但是牛頓的光粒子說就完全被捨棄了。克卜勒在尋找行星定律的過程，也不是一次成功。有些過程和結果現在看起來也是很荒謬的。例如他原先認為太陽系裡的行星，都是正多面體。如果他真的覺得答案不重要，指管相信以自己的過程手段推出的答案，大可以不再繼續努力，也不會有後來的克卜勒定律。愛因斯坦也曾對自己的宇宙常數感到後悔，因為他原先的思考以為宇宙是靜態的。甚至當有人從廣義相對論解出宇宙在膨脹的結果，還被他批評物理素養不好。我想愛因斯坦的思考過程，應該沒有人會覺得很膚淺，只是，科學能進步不是因為這是愛因斯坦的思考過程推出的答案，而是即使是愛因斯坦的過程，最後也要接受實驗的檢驗（也就是答案能否符合現實）。 : Ｓ：「所以這題考試時要寫『不是』多項式。」 : Ｔ：「你在寫考卷時，可以想著這是個無趣的考法。」 : Ｔ：「但你可以用有深度的思維來寫下這簡單的答案『不是』」 : Ｓ：「『不是多項式』是個很簡單的回答，可以說課本定義就這樣寫。」 : Ｓ：「但至少有了解後，就覺得這定義是是用心良苦，這題目也是很重要。」 : Ｓ：「當看到題目是多項式時，心裡就比較心安，這函數不會太亂來！」 : Ｔ：「先學多項式就像先開車先開柏油路，沒有太多坑洞比較安全。」 : Ｓ：「一開始就要開不平的山路，大概連開都不敢開。」 : Ｔ：「那接著我們再來想 x 有絕對值、x 在根號內的好處理嗎？」 : Ｓ：「x 在絕對值，太恐怖了。」 : Ｔ：「課綱編輯委員也是這樣想，所以一開始就介定範圍，先把最簡單的先學好。」 : Ｓ：「原來課綱的編排也是用心良苦。」這個函數了解之後，就不恐怖了。恐怖就是因為不了解啊。其實就只是x=-1實沒有自然定義的值，讓學生理解到因為沒有自然定義，所以我們可以自己去定義，就會使得問題極其單純。這裡延伸出的想法，包括後來的Dirac-delta函數，也就是說沒有自然定義的地方有很大的自由度可以去規定那個地方的行為。即便是無限大，也都能選擇要無限大到何種程度，甚至傳統上不連續的概念，都可以被看成是連續函數的某種極限。當然這些內容，可能只有在學生上大學才比較能體認到這種幫助。所以我會說，要剛好遇到的學生適合去講這些內容，再來斟酌要講到什麼程度。即使是國中數學，要問到超出大學程度的問題，也可能是很容易的。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 49.216.163.65

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