Re: [積分] 極限
※ 引述《olala313 (喔耶耶)》之銘言：
: 1 x 2
: lim -----∫ cos t dt
: x→0 x 0
x |
= [(d/dx)∫ cos(t^2) dt ] | (by definition)
0 |x=0
|
= cos(x^2) | (by FTC)
| x=0
= 1
f(x)
當 f(0) = 0 時, lim ------ 即是 f'(0) 的定義式, 此
x→0 x
種情形引用 L'Hopital's rule 是不適當的! 因為要引用
L'Hopital's rule, 首先就要有 f'(x) 在 0 附近, 或直
接需要 f'(0).
x
或有懷疑如 ∫ cos(t^2) dt 只定義於 x>0 者. 非也!
0
若上列積分限於 x>0, 則原極限只能考慮單邊極限.
事實上, 由定積分基本性質可知,
x x 0
∫ cos(t^2) dt = ∫ cos(t^2) dt - ∫ cos(t^2) dt
0 a a
由於 cos(t^2) 在 R 連續, a 可取任意夠小(代數值),使
得 x>a 且 0>a 成立, 而 x 是在 0 的某個鄰域之內, 即
x in (-h,h) for some h>0.
假設使用 L'Hopital's rule 來解原極限, 需要應用的條
件與定理是:
(1) cos(t^2) 在 0 的一個去核鄰域(-h,0)∪(0,h)連續.
(2) 應用微積分基本定理, 得原極限式分子部分之導式為
cos(x^2).
(3) 由 cos(x^2) 的特性, 得 lim_{x→0} cos(x^2)=1.
(4) 上列操作,事實上是分 x>0 與 x<0 分別考慮的---請
查一下 L'Hopital's rule 的證明, 在不用到 "x=0"
這一點的形式, 是只考慮單邊極限的.
依微分定義+FTC, 需要應用的條件與定理是:
(1) cos(t^2) 在任意有界閉區間都可積, in partiular,
在 0 的一個鄰域內的任意閉區間都可積分.
與前一方法比較, 前法是假設: cos(t^2) 在以 0 為
起點或終點的閉區間都可積分. 但如此一來, 也就同
本法假設的一樣: 在任一有界閉區間都可積分.
(2) cos(t^2) 在 t=0 連續, 因此由 FTC 得
d x |
---∫ cos(t^2) dt | = cos(0^2) = 1
dx 0 | x=0
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