Re: [微分] 一題極限

看板trans_math作者PaulErdos (My brain is open)時間14年前 (2010/02/15 06:06)推噓5(5推 0噓 29→)

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首先＿請你考慮 lim √x x→0 按照你的說法是不存在可是它是零喔你可以用軟體跑一下 ※ 引述《keith291 (keith)》之銘言： : ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之銘言： : : 不對 : : 它的定義域是 (0.∞) : : 所以根本就只有右極限可言 : : 沒有什麼左極限存不存在的問題 : : 左極限? 你要怎麼左? : : 請回歸定義 : : for any ε＞0 : : there exists δ＞0 : : such that : : │f(x)－L│＜ ε whenever │x－0│＜δ : : 什麼是│x－0│＜δ ? : : 那就是x落在 (0,δ)這個區間內 : 錯了 : whenever │x－0│＜δ : 即-δ < x＜δ 的 "所有x" 都要滿足│f(x)－L│＜ ε (附帶一提應該是 : 0 <│x－0│＜δ因為x=0那點我們並不關心故所有x不用包含x=0) = = 那個函數的定義域就沒有負的你到底為什麼要指派 (-δ,0)這部份給它在它的定義域 (0,k) 裡面滿足 0＜│x－0│＜δ δ小於k 的時候當然就是(0,δ)這區間你怎麼會寫(-δ,δ) .... -δ是哪裡蹦出來的? 定義域裡根本沒有呀這有很難懂嗎? 這時候 0＜│x－0│＜δ 和 0＜ x－0 ＜δ 是不是完全相同? -δ < x＜δ 的 "所有x" 是不是就等同於 0 < x＜δ 的 "所有x" ? 還是你能給我反例指出某個點符合左邊不等式但不符合右邊不等式嗎? : : 而非x落在(-δ,δ) , 再讓你分成 (-δ,0)和(0,δ)分開看 : : 因為x沒機會落在0的左邊 : : 這並非左極限不存在 : : x從來就左不了 : 極限的精確定義: : Let f be a function define on some open interval that contain : the number t,except possibly at t itself.Then we say that the limit of f(x) : as x approaches t is L and we write lim f(x) = L : x→t : if for every numberε＞0,there is a number δ＞0 : such that │f(x)－L│＜ ε whenever 0 <│x－t│＜δ : 這函數定義域是(0,∞)根本不滿足 contain "0" 這個數的條件本來就不需要了我前面確實漏打了應該寫 0＜│x－0│＜δ 你也幫我糾正了這裡也寫 except possibly at t itself 你怎麼又把它當條件了 ? : 然後 : 此函數滿足右極限存在條件: : lim f(x) = L : x→t+ : if for every numberε＞0,there is a number δ＞0 : such that │f(x)－L│＜ ε whenever t < x < t+δ : 所以此題的確只存在右極限 : 不存在我們一般指的極限 : 因為我們一般常用的極限全名其實是"雙邊極限"(two-sided limit) : 他的左極限根本不存在了何來存在雙邊極限? 我怎麼覺得你這一段不是在支持自己= = 看清楚一點這一段哪裡使此例不合ε-δ定義了 ? 指出來給我看你現在的問題之一在於你要搞清楚什麼叫左極限"不存在" 就是我的x從指定點的左邊趨近它卻極限(值)不存在可是現在定義域根本不包含指定點的左邊這樣根本談不上從左邊趨近那這樣我怎麼可以說是左極限(值)不存在呢 ? 所以一種情況是可以做左極限但做出來是極限值不存在以定義來看的話就是當 0 < t－x ＜δ 時不管我如何讓δ繼續變小 │f(x)－L│都沒有辦法小於ε 這叫做極限(值) 不存在另一種是根本沒有左極限可言, 這跟極限值不存在是不一樣的當 0 <│x－t│＜δ 時其實就是 0 < x－t ＜δ 因為 x－t 根本沒有機會小於零呀所以你用 0 < x－t ＜δ 做符合定義發現它右極限存在這時候就保證 0 <│x－t│＜δ 時也符合定義了因為此時只要 0 < x－t ＜δ 同時也 0 <│x－t│＜δ 不然你可以指出不合定義的地方大多情況是定義域包含了t的左右所以才會把0 <│x－t│＜δ 拆開成 0 < t－x ＜δ 和 0 < x－t ＜δ 分開看這時候才會說 lim f 存在 iff lim f 和 lim f 存在且相等 x→t x→t- x→t+ 因為這時候只要有一邊的極限值不存在或存在但不相等馬上就不合極限定義了而在此例中 x完全談不上從左邊趨近所以 x趨近t 和 x從右邊趨近t 就變成同一回事了它只有一個方向可以過去呀簡單地來說就是你把Collorary當成Definition 用得很開心卻忘了它的條件忘了原始定義怎麼講你將來如果學到高微的話這其實很基本就定義來說 x落在 t的 neighborhood 或者說一個包含t的ball 裡頭時使得 d(f(x),L)＜ε 但此例t恰好在定義域的boundary上, 所以t的 neighborhood 也就是包含t的 "ball" 是個殘缺不全的ball 甚至你會知道如果定義域只有一個點那麼它是連續的很奇怪吧? 它完全沒有任何方向的極限可言但它符合ε-δ的定義呀再給你一個反例按照你的說法任何函數f 在區間[a,b]上時必在端點a,b不連續所以它只能在開區間(a,b)上連續因為在a點"左極限不存在" (這是你的說法...) 在b點"右極限不存在" (再強調一次,這是你的說法...) 所以f不可能 "在[a,b]上連續" 但這又是均值定理的條件所以可以推知在初微中均值定理無法成立因為沒辦法合條件 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.244.49 ※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.244.49 (02/15 06:31)

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yhliu

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