Re: [請益] 矛盾
我覺得重點在於, 在一個proof theory裡(例如: natural deduction),
引入恆真句並不是一件理所當然的事情,
你通常會需要一些meta-theory來允許你這麼做,
其中一個可能會用到的, 如: 完備性定理,
(即: 凡是真的皆可以被證明)
不見得在每一個系統中都成立。
換言之, 恆真句就算是「不管在什麼情況下都會為真」,
也不保證你能在你的系統當中證出它來,
如果你的系統證不出某個恆真句,
你就無法合法地引入它作為你的前提。
如此例中, 如果你的系統證不出 R v ~R,
那麼你無法引入 R v ~R 作為前提。
而的確在直覺主義的自然演譯法中,
(briefly, 不能使用RAA的自然演譯法),
你是證不出 R v ~R的。
※ 引述《maylaw (討厭傲嬌)》之銘言：
: ※ 引述《aletheia (cOnJeCTuRe)》之銘言：
: : 你這樣說不太對
: : 直覺主義認為排中律並不成立
: : 對於他們來說 (φvψ)指的是
: : "φ可以建構出一個證明或者ψ可以建構出一個證明"
: : 對於(pv~p)來說
: : 除非能說明所有的句子與其negation不能皆同時找到證明
: : 那不能說明排中律成立
: : 另外我也覺得自然演繹法在過程中直接放入恆真句怪怪的
: : 有書可以參考一下嘛 我只知道Gentzen版本的
: 「直覺主義認為」是「直覺主義者認為」，只有理性生物會思考，才會認為；
: 主義本身不會「認為」。
: 所以目前問題區分成兩個部份，是不是有恆真句的問題，
: 跟恆真句能否直接引進推論的問題：
: 1.恆真句是存在的嗎？
: 你這段話：
: "φ可以建構出一個證明或者ψ可以建構出一個證明"
: 對於(pv~p)來說
: 除非能說明所有的句子與其negation不能皆同時找到證明
: 我看不懂在說什麼，可否舉例輔助？
: φ可以建構出一個證明，究竟是以φ為前提來做出論證證明其他陳述？
: 還是以φ為結論，可用論證來證明φ為真？
一命題是否為一個恆「真」句,
有時要看你給的 semantics是什麼,
aletheia的這句話, 是直覺主義對logical connectives (not and if),
所給出的一種可能的semantics, 我們通常稱為 Kripke semantics。
用「可證性」來理解一句子的「真」, 是一種對Kripke semantics的理解方式,
也就是說, ~φ 為「可證」, 若且惟若, 在以後時間中都不會找到φ為「可證」,
而因此, (pv~p)有可能在 p不為「可證」, 同時~p也不為「可證」的情形下,
(pv~p)也不為「可證」。
舉例而言, 我們把哥德巴赫猜想寫成命題p,
在這詮釋下, p不是可證的, ~p也不是可證的, (雖然未來某刻可能其中一個會被證出來)
而因此 p or not p 不是可證的。
: 話說恆真句對我們而言沒有成立或不成立的問題，恆真句不管在什麼情況下都會為真，
: 因此它並不從任何有別於它的陳述句導出來，也就是它的真並不依賴於其他敘述、現象、
: 事物等。因此恆真句的真假也不需要被檢證。它也無法提供我們任何資訊，例如「白色
: 的牆壁是白色的」，一般我們都會說：「啊這不是廢話嗎？」不過這是不是為真？是！
: 至於所謂的排中律，若舉個例子來講：「螞蟻是紅色的或螞蟻不是紅色的」，也是恆真句
: ，除了紅色跟不是紅色以外，還有第三種可能嗎？有可能既是紅色的又不是紅色的嗎？
: 尤其這段話：
: 「除非能說明所有的句子與其negation不能皆同時找到證明，那不能說明排中律成立」
: 以上述的螞蟻作為例子，我想問問直覺主義：「你能找到一隻同時既是紅色的又不是紅
: 色的螞蟻嗎？」，沒有任何事物存有這樣的矛盾，你不能把陳述分開來看，不能找一隻
: 不是紅色的螞蟻，跟一隻是紅色的螞蟻，然後告訴我：「我同時證明這螞蟻是紅色的跟
: 另一隻螞蟻不是紅色的」，問題是那是兩隻，但是當我說「螞蟻不可能既是紅色的又不
: 是紅色的」，這時候我是講同一隻螞蟻。你要拿兩個不同的個例，然後做出兩句陳述，
: 以選言符號擺在一起當然不會有矛盾，但是當我們陳述同一個例的時候，我們是不可能
: 找到既是肯定它如何如何，又否定它如何如何，的矛盾例子，這是不可能的。
: 至於能否引入恆真句證明容我下次再說，上班去～～
(p & ~p)的不成立, 與 (p v ~p)的成立, 在直覺主義當中是兩回事,
大部份的直覺主義不接受 (p & ~p) (除非你是paraconsistent logic)
但卻也不接受 (p v ~p)。
[矛盾律與排中律是不一樣的, 要從矛盾律導排中律, 你可能要預設某些東西]
而如果你想要從, 假設排中律不成立, 我們可以找到矛盾, 因此排中律成立,
這剛好就是直覺主義者不接受的 RAA 證明方式。
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