Re: [閒聊] 為什麼版上幾乎沒有討論非線性?

看板Physics作者pipidog (如果狗狗飛上天)時間9年前 (2015/04/23 05:41)推噓10(10推 0噓 36→)

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※ 引述《peter308 (pete)》之銘言： : 我覺得非線性是非常有用的一門課 : 裡面的數學很簡單大學生甚至高中生就會 : 可是可以應用的領域五花八門 : 從訊號工程生物經濟社交化學雷射半導體電漿統計物理相變重整化群 : 等等都有 : 可是怎麼感覺版上很少人討論? 一點想法,其實我認為非線性絕對是物理中一個關鍵的部分.而且徹底的滲透進了各個子學門中,只是非線性一詞意義太過廣泛,因此除非是專門研究數學的,不然一般人很少會用非線性來描述自己的問題,即便他所做的事情就是非線性. 以凝態物理來說,類似的例子早就已經數不清了.例如透過自洽場求解密度泛函這件事情本身就是在求解一個非線性方程.但是即便是當初這個工作的幾位主要貢獻者也幾乎不會用非線性來描述自己的工作,縱然他們在做的事情本質上就是在求解一個非線性方程. 舉一個典型的例子,不曉得版上有沒有人接觸過CPMD這種計算? 他的全名叫做 Car-Parrinello Molecular Dynamics,這是一個在凝態計算裡面很常用來求解分子或是晶格最穩定結構的方法. 他主要處理的問題是,如果我們想知道求解一個量子系統的結構隨時間的演化,最直覺的作法就是我先做電子結構的基態自洽,求出了電子的基態之後,我們再去計算這個基態給原子的力.得出力之後,根據這個力對原子給出位移,然後有了新的位移,我們再根據這個位移去重新做自洽求出新的原子受力.所以整個流程就是: 自洽求基態->算受力->產生新位移->自洽求基態->算受力>產生新位移.... 這個做法想起來很簡單,但其實整個過程極其困難.原因是因為,你每把原子的位置推動一小步,你都要重新求一次自洽.如果你把這整個過程所涉及到的方程式全部寫下來,就會發現他不僅涉及了求解非線性方程,還涉及了自洽求解本徵值的問題. 整個問題運算量極大,而且每一次自洽都存在了可能基態求不對的風險使得誤差不斷累積. 這在80年代,基本上是個不可解的問題. 直到Car跟Parinello兩個人的出現改變了這個局面.CP的想法是,他在原本的 Hamiltonian中,"毫無道理的"(是的,完全毫無道理,純粹是數學上瞎湊) 引進了一個跟電子密度有關的項(後來這個項稱作虛擬動能),但因為是胡亂添加進來的項,所以它們刻意地在這個項前面乘上了一個很小的係數m,那麼我們可以預期,只要m足夠小,小到可以忽略的程度.求解這個多出一項的Hamiltonian 問題,就會非常的近似於原本我們想求解的問題.(有興趣的人可以wiki一下) 這樣有什麼好處呢? 神奇的地方在於,這個"多了一項"的Hamiltonian,竟然可以把電子的orbital的時間演化在"數學形式上"變成了一個古典的牛頓方程. 只要我的 m取的足夠小,整個問題就從一個需要不停地求自洽的非線性問題,變成了一個求解一堆相互耦合的牛頓方程問題.再也不需要做自洽了!至此,運算被大幅減少,透過數值運算量子系統的空間動力學問題才有了一個在具體上可解決的方法. 從此之後,這個方法被不斷的改進,加強.時至今日,你會在大部分的ab initio套裝軟體裡面發現內建這個功能了.(當然,現在的計算能力,暴力法硬解也是很普通了, CP已經不是非靠它不可了,但許多量子結構動力學的計算還是基於CP). CP兩人也因為這個工作聞名世界,時至今日,當初他們提出的那篇文章已經被引用了近萬次,而且每個月都還以數百次的數目再增加.可以說靠著一個工作,就奠定了一代大師的地位.剩下的日子完全可以悠悠哉哉的看著citation破表. 我記得我當初在讀這個工作的時候,看到它們莫名其妙地引進一項沒意義的項進來 ,最後竟然可以把整個問題從量子的本徵值求自洽解的問題變成了一個牛頓力學的問題時,幾乎感到不可置信,暗自拍案這簡直是神人的工作.甚至覺得他們從天上掉一項下來竟然可以有這麼美妙的結果實在太沒道理了.是哪來的靈感? 但科學常常就是這樣,努力固然很重要,但是那些最重要的工作,往往帶有著一點"天啟"的成分. 話說從頭,我想說的是,其實我不覺得非線性在物理的領域裡面是一個冷課題,相反的,很多重要的工作,往往都是建築在破解了一個非線性的問題上達成的.甚至你會發現這些破解的方法後來往往造成了一個新的學門的產生(例如今日各種應用在DFT 上的方法都可以算是).只是這些問題往往不是以非線性的姿態出現,而是以一個工具的姿態出現就是了. 美國的8,90年代,曾經有過一段物理人跑華爾街的風潮,我猜想很大部分就是因為大多數的物理人都或多或少的被潛移默化許多非線性的觀念,即便這些觀念在物理中多半不是以一門專門的學門來教育,但每個物理的領域或多或少都有一些屬於他們自己的非線性問題可以移植到金融領域做分析. 不過之前看過一篇分析,認為物理人跑華爾街的時代已經過去了(以我身邊的觀察來看,應該也確實如此,不過畢業跑去網路公司寫code,做data science的人倒是越來越多了),很大的原因是因為那些曾經對金融業來說很新,很陌生的數學方法,早已被玩金融的人學去了(畢竟人家也不比你笨),甚至有系統的發展成了屬於他們專屬的計量學門,以至於其他領域的人毫無背景的跳進去,不僅學不來,也玩不贏了. -- ★人生中最溫暖的夏天是在紐約的冬天★ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 128.200.93.30 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1429738871.A.92C.html ※ 編輯: pipidog (128.200.93.30), 04/23/2015 05:50:53

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zealeliot

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