Re: [問題] Lagarangian自變數是獨立的？

看板Physics作者 (Schwinger)時間14年前 (2011/10/04 00:17), 編輯推噓13(13推 0噓 79→)
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※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言： : ※ 引述《Dirac (拉拉)》之銘言： : : . . : : 一般而言，L(q, q, t)中的q、q、t被視為independent variables，究竟是為什麼？ : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ really? : 我們來看一下推導 : 令 L = L(q,v,t) : S=∫ L(q,v,t) dt : δS = δ∫L(q,v,t) dt : = ∫[(d/dq)L δq + (d/dv)L δv] dt (d是偏微分) 這裡的d應該是偏微吧 : 如果 q, v 是 independent q, v 是 independent不代表 δq和δv就是一定 independent 不過這裡的確可看出 δq和δv是dependent,不然會像你說的那樣個別分開=0 or 你是否可以給個證明? _________________________________________________________________________ 我剛剛再次推一次,發現key step 是 δq'= dδq 還有一個要求就是 integration by part 的時候邊界固定,即上下 δq_i = 0 q, v 是 independent,照樣可以推出 Euler-Lagrange方程 : 則 δS=0 implies (d/dq)L=0, (d/dv)L=0 我又發現一個bug,δS=0這裡有積分喔,而且是上下限給定的積分,你怎麼證明下列 (d/dq)L=0, (d/dv)L=0 這裡不是你想的線性獨立喔,不然給個證明,你寫太簡略了 : 但是 這樣推不出牛頓方程式 ^^^^^^^^^^^^^ Euler-Lagrange方程???? : 因此 獨立的 只有q : v=Dq/Dt, δv=(D/Dt)δq what is your D? : 再利用部分積分以及邊界條件得 : δS = ∫[(d/dq)L - (D/Dt)(d/dv)L ] δq dt 我可以用物理來解釋 q和 q'是獨立的,我看一本變分學的書也說是獨立的 有興趣去看Marion的第七章的循環坐標cyclic coordinate那裡, 他有解釋道,如果q_k是一個循環坐標,則L中的座標可以少一個q_k,但是L仍然有q_k'項 可見q_k和q_k'是獨立的,我的看法是這樣,不知道是否有人可以反推 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.28.113 ※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:20) ※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:35) ※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:39)
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10/04 00:42, , 1F
D is the total derivative.
10/04 00:42, 1F
我看懂了@@,應該沒有人這樣寫的吧,他把d寫成D,d寫偏微我被誤導了><
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10/04 00:42, , 2F
Maion 明確寫出 q' 就只是 q 對時間的微分.
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10/04 00:43, , 3F
they are not independent..這 Marion 明確地寫出來
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那請問大大他有寫why嗎?
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10/04 00:44, , 4F
其實我Marion一時放在寢室,我是看跟幾乎跟Marion一樣的
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10/04 00:46, , 5F
大陸書,然後翻到循環坐標那裡,然後這本書是寫p和q才獨立
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10/04 00:47, , 6F
一般來說我們都是看q和p的相圖吧,但是後來我想這問題覺
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10/04 00:48, , 7F
得其實他問的好像也可以想看看,然後發現循環座標可解釋
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10/04 00:51, , 8F
上學期我們也有考這題ket step是δq和δq'是要depedent
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10/04 00:53, , 9F
但是後來我剛想想,這裡是定積分=0的時候成立的情況
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※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:57)
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10/04 00:54, , 10F
就只是對時間的微分而已啊. 為何會認定 獨立?
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10/04 00:59, , 11F
因為他問了><,然後我以為他是看書問的結果讓我一直想><
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10/04 01:01, , 12F
比如圓周運動位置向量和速度就會垂直呀,這是個例子吧?
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推
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我認為獨立與否其實是心理學的問題而非物理學XD
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10/04 01:02, , 14F
一般曲線座標系和他的微分也是可能獨立只是可能不會垂直
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10/04 01:03, , 15F
WINDHEAD大來一篇看法救援一下吧><,昨天你也回Dirac了XD
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推
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我看法很單純啦 就是解方程咩 多設一個變數可以幫助你
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10/04 01:05, , 17F
我以為他都看書來問,結果都是他自己再想的吧><也是好事
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解方程. 新設的變數一定從舊變數來的,但在操作的時候
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10/04 01:06, , 19F
仍然當成一個新變數在算,反正我們要的是最後那個答案
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那舊變數和新變數的關係應該可以是獨立也可以不獨立吧?
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10/04 01:07, , 21F
比如t在那裏就是一個相依的變數,然後q和q'獨立或是相依
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10/04 01:08, , 22F
這樣算對嗎?但是我剛剛寫的循環坐標呢?你怎麼看c大您呢?
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10/04 01:09, , 23F
我的看法和 Marion 一樣 :p
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推
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我覺得應該是討論再相空間視為獨立吧 不然誰跟誰的群有
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10/04 01:09, , 25F
t 是獨立變數. q = q(t)
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映射根本只是定義問題
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10/04 01:10, , 27F
L is a functional of q(t)...
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所以求 EOM, 獨立的就只有 q(t), t...
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10/04 01:12, , 29F
基本上只是定義的問題，你高興設什麼變數獨立都可以
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10/04 01:13, , 30F
偏微分的概念本來就是這樣，就算y = y(x)，還是可以定義
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10/04 01:13, , 31F
定義f(x,y(x))=xy，然後f(x,y)對y偏微就是x
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10/04 01:14, , 32F
我昨天嘗試用線代觀點去證明和反證q和q'獨立做不出來><
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10/04 01:14, , 33F
推caseypie大大,我就是這樣想的,終於有人支持我了XD
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10/04 01:18, , 34F
這裡獨不獨立不重要δq'= dδq還有固定端點δq=0才重要
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10/04 01:18, , 35F
J大他的證明我不覺得是對的,因為這裡是定積分的問題
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10/04 01:19, , 36F
disagree :p....我同 J 大..這裡是要求 EOM
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10/04 01:22, , 37F
他說q,v是independent則δq和δv會是independent怎麼證?
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10/04 01:43, , 38F
q和t不是獨立的啊，q就是t的函數，整個EOM裡面只有t而已
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10/04 01:44, , 39F
q和v也不可能independent，因為q=q(t),v=v(t)
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10/04 01:46, , 40F
所以我可以定義反函數t=q^-1(q)，然後就有v=v(q^-1(q))
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10/04 01:46, , 41F
於是v就是q的函數
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推
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我笑了
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10/04 01:47, , 43F
以線代觀點來說, q和q'的確是獨立的
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10/04 01:48, , 44F
哪，解方程式的時候當然可以設計一個向量(q,q')啊
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但是那是數學上的處理方式而已，沒有說絕對是獨立吧
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泛函給妳靠
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推
10/04 02:00, , 47F
XD推心理學~
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10/04 02:01, , 48F
推caseypie大,他剛剛已經就寫了一個很經典的例子了^^
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10/04 02:03, , 49F
t在這裡只是一個參數,q和q'其實就可以構造獨立或不獨立
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10/04 02:04, , 50F
不過我在循環座標的疑惑還是沒有解除,應該說q和q'無關吧
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10/04 02:05, , 51F
獨立和無關的確就是心理學名詞XD
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10/04 02:11, , 52F
WINDHEAD大給您一個反例,一維的運動位置和速度就不獨立
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10/04 02:12, , 53F
極端的就是圓周運動囉,然後介於這二者的通通都是獨立的
10/04 02:12, 53F
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10/04 02:13, , 54F
我這裡的位置是只位置向量,這樣我就可以用線代來定義吧
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推
10/04 02:14, , 55F
學長還沒睡喔!QQ
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10/04 02:16, , 56F
明天要考試,真的快完蛋了><你有修過雷射導論嗎?
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10/04 02:16, , 57F
以後要天天正常了,不然熬夜又亂想這些,可惡的DiracXD
10/04 02:16, 57F
推
10/04 02:17, , 58F
其實這問題跟切觸流型和辛結構有關
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10/04 02:17, , 59F
我要修 被老師趕走了 她不讓我加遷QQ
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10/04 02:17, , 60F
你又把我們陷入一片Dirac sea了,不過你跟本尊差太遠了XD
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10/04 02:18, , 61F
本尊?
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10/04 02:19, , 62F
去年我也是不讓我簽今年直接上了,你就說有畢業壓力呀XD
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10/04 02:19, , 63F
她就是不讓我簽 艮!
10/04 02:19, 63F
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10/04 02:20, , 64F
我是說這位PTT的Dirac連問一堆真的不像Dirac本人會問的
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10/04 02:20, , 65F
我是第二星期來簽的 這也沒辦法 嘆~
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10/04 02:20, , 66F
我到是覺得這是好問題
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10/04 02:21, , 67F
你說這問題跟切觸流型和辛結構有關?有那麼複雜嗎?@@
10/04 02:21, 67F
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10/04 02:22, , 68F
這問題倒是比上一篇好很多沒錯不過不值得我熬夜替他想@@
10/04 02:22, 68F
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10/04 02:23, , 69F
我要回去睡啦><,有機會再出來吃飯吧^^
10/04 02:23, 69F
推
10/04 02:23, , 70F
你可以把這些東西 用幾何去思考 然後嚴謹化
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10/04 02:23, , 71F
好啊!^^
10/04 02:23, 71F
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10/04 02:24, , 72F
晚安啦各位,也謝謝參與討論的同學,希望Dirac能夠解惑了
10/04 02:24, 72F
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10/04 02:25, , 73F
我看一堆人去註冊大師好了,好像連問問題都有人肯認真回
10/04 02:25, 73F
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10/04 02:27, , 74F
昨天看他那篇的語氣和用字還以為這是對的或他有深入想過
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推
10/04 02:53, , 75F
schwinger那個不算反例，因為q與q'之間的係數會隨時間變
10/04 02:53, 75F
推
10/04 02:57, , 76F
化。線代要求係數必須是常數喔。如果可以變的話豈不是萬
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10/04 02:57, , 77F
物皆相依XDDDD
10/04 02:57, 77F
推
10/04 02:59, , 78F
要看q, q(dot) 我想的確要從manifold下手...
10/04 02:59, 78F
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10/04 03:07, , 79F
推W大,我累了X,人很累了就會亂想一個東西想脫身睡覺><
10/04 03:07, 79F
推
10/04 03:18, , 80F
這問題非常好阿 初學也容易被搞混
10/04 03:18, 80F
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10/04 03:19, , 81F
廣義的東西只是拿去類比很像是我們熟悉的東西
10/04 03:19, 81F
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10/04 03:20, , 82F
實質上他的性質已經有不小的變化了
10/04 03:20, 82F
推
10/04 04:34, , 83F
依我的卓見..喔不 是拙見... 這問題和 torsion 有關
10/04 04:34, 83F
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10/04 04:43, , 84F
你在做偏微分那一部, q, q' 當然視為獨立.
10/04 04:43, 84F
→
10/04 04:44, , 85F
但是 q' 不過就是 q 的微分...你做 variation 就不該
10/04 04:44, 85F
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10/04 04:44, , 86F
視為兩個獨立的量..所以分布積分回去得到單純的q..
10/04 04:44, 86F
→
10/04 04:44, , 87F
這和你下一篇 how to cacel the dot 其實是同一件事.
10/04 04:44, 87F
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10/04 04:45, , 88F
不然你硬要說, H(p,q) 的 p 和 q 你也可以說不獨立了..
10/04 04:45, 88F
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10/04 04:45, , 89F
因為兩者可以從 EOM 之間得知有關聯..
10/04 04:45, 89F
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10/04 04:46, , 90F
但是你在得到 EOM時, H 就是一個 2n 個獨立變量的泛含
10/04 04:46, 90F
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08/13 16:27, , 91F
我昨天嘗試用線代觀點去 https://noxiv.com
08/13 16:27, 91F
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09/17 14:26, , 92F
推caseypie大大 https://daxiv.com
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