Re: [問題] 相對論問題雙胞胎

看板Physics作者sirhc (sirhc)時間13年前 (2010/12/08 13:34)推噓0(0推 0噓 12→)

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我把問題講清楚假設宇宙是封閉沒有邊界的哥哥和弟弟是雙胞胎起始狀態是哥哥弟弟在同一個位置弟弟靜止哥哥往一個方向等速運動終止狀態跟起始狀態一樣不過哥哥已經繞宇宙一圈了請問終止狀態時哥哥年輕還是弟弟年輕 ※ 引述《sirhc (sirhc)》之銘言： : 假如假設宇宙是封閉的 : 以二維來想也就是假設宇宙是ㄧ個圓柱的表面 : 這樣哥哥就不需要轉換貫性座標 : 只要繞圓住一圈就可以回到原點了 : 那這樣試問哥哥比較年輕還是弟弟比較年輕 : ※ 引述《xgcj (xgcj)》之銘言： : : 來找個例子算算雙生子題目好了 : : 首先我把題目簡化一下 : : 我們有雙胞胎兄弟兩人 : : 哥哥和弟弟 : : 首先弟弟留在地球上哥哥比較喜歡冒險 : : 所以他搭乘一艘性能優異的太空船出去外太空旅行 : : 這個時候我們太空旅行的過程分為 : : 加速階段=>等速階段=>減速階段=== ╗ : : ↓ : : 減速階段<=等速階段<=加速階段=== ╝ : : 為了不使家裡孤單的嫂嫂擔心所以這趟旅程是一趟很快的旅程 : : 過一下子就回來了 : : 然後這是個假想的實驗 : : 所以跟實際上就不要太計較了 : : 出發那一刻兄弟倆拿著相同的錶對時 : : 然後哥哥從靜止出發! : : 0 L1 L2 L1 : : 地球加速階段速度=C/2 等速階段速度=C/2 減速階段速度=0 (去程) : : =============== =============================== =============== 目的地 : : 地球減速階段速度=C/2 等速階段速度=C/2 加速階段速度=0 (回程) : : 我做這個題目時將完全用狹義相對論來做並且使用 : : 首先 : : 為了簡化題目我們加速階段都用等加速度來做而且我們加減速階段都使用L1作為長度 : : 在等速階段我們用 L2作為長度 : : 令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c : : 先計算加速度是多少 2 2 : : 1 2 1 (a*t0) (c/2) : : L1=---- a (t0) =---* ------=------- : : 2 2 a 2 a : : => 2 : : (c/2) : : a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s) : : 2*L1 : : -------------------------------------------------------------------------------- : : 並令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等會用到) : : -------------------------------------------------------------------------------- : : 現在要先處理弟弟座標系的部分 : : 這個地方用等加速度公式就可以了 : : 令加速度階段所花時間為t0 等速階段所花時間為t1 : : 因為加速等共有4段等速共有2段又相同的階段間彼此是對稱的 : : 所以結果最後在相加 : : 2 2 : : L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0) : : =>t0=120s : : L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1 : : =>t1=2000s : : 弟弟等哥哥回來所花的時間為 : : 4t0+2t1=4480s : : -------------------------------------------------------------------------------- : : ps補上公式:[以便最後做比較] : : 4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : : -------------------------------------------------------------------------------- : : 現在要處理哥哥的部分 : : 這個部分要用到一個觀念 : : 那就是所謂"原時"的概念 : : 哥哥本身相對於自己是靜止的 : : 所以他的時間和弟弟過的時間就不一樣 : : 我這裡用t'來當哥哥本身時間的代號 : : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt : : 我們先用這個公式來計算加速階段所花的時間 : : 先考慮第一加速階段 : : v=at : : 所以 : : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt : : 那第一階段所花的原時為 : : t0 : : t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt : : 0 : : 做個變數變換 : : let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6 : : 所以積分式變為 : : θ1 2 : : ∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1) : : 0 : : θ1 2 : : =>∫ (c/a) cosθ dθ : : 0 : : θ1 : : =∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ : : 0 : : =(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)] : : ------------------------------------------------------- : : 再來是等速度階段所花的時間 : : 2 : : dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt : : t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V) : : 總共花的時間是 : : 4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) : : ------------------------------------------------------- : : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) : : =2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2)) : : =480s[0.9566]+4000*cos(π/6) : : =3923.27s : : ------------------------------------------------------ : : 弟弟經過的時間是4480s哥哥經過的時間是3923.27s : : 可見弟弟已經比哥哥還要老了XD : : ------------------------------------------------------ : : 最後對兩個結果做個比較 : : 這是弟弟的 : : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : : 這是哥哥的 : : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2] : : ----------------------------------------------------- : : 在(0,π/2)區間裡面 : : 4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1] : : 又1>cosθ : : 所以弟弟經過的時間比哥哥還多 : : ---------------------------------------------------- : : 簡單的計算可以給我們一些啟示你也可以去調整裡面的參數 : : 最後你可以發現到底 : : 小弟若有錯誤的地方請大家糾正m(_ _)m : : ---------------------------------------------------- : : [1] 用mathematica畫的圖y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2) : : http://ppt.cc/fa!p : : [2]補充說明在加速度極大之下也就是a>>1 : : 我們可以忽略下面式子的前兩項 : : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V) : : 於是又回到 : : 2(L2/V) : : 2cosθ1*(L2/V) : : 這個結果上也就是不用考慮到加速度的效應 : : 這個結果化作我們熟悉的形式是 : : 2 : : 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V) : : 也就是在加速度極大之下我們可以忽略加速度對時間的效應 : : - : : 標題 [新聞] 一射精就變盲人！怪病男就醫求援 : : 時間 Tue Nov 30 18:01:17 2010 : : → youku1:五樓有這症狀 11/30 18:01 : : → nash1way:五樓有這症狀 11/30 18:01 : : 推 Bartleby:五樓有這症狀 11/30 18:02 : : 推 Carmelo:我沒有 11/30 18:02 : : 推 YU0121:蓋 11/30 18:02 : : - -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 66.31.43.76

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