Re: [問題] 相對論問題 雙胞胎
※ 引述《xgcj (xgcj)》之銘言：
: 來找個例子算算雙生子題目好了
: 首先我把題目簡化一下
: 我們有雙胞胎兄弟兩人
: 哥哥和弟弟
: 首先弟弟留在地球上 哥哥比較喜歡冒險
: 所以他搭乘一艘性能優異的太空船出去外太空旅行
: 這個時候 我們太空旅行的過程分為
: 加速階段=>等速階段=>減速階段=== ╗
: ↓
: 減速階段<=等速階段<=加速階段=== ╝
: 為了不使家裡孤單的嫂嫂擔心 所以這趟旅程是一趟很快的旅程
: 過一下子就回來了
: 然後這是個假想的實驗
: 所以跟實際上就不要太計較了
: 出發那一刻 兄弟倆拿著相同的錶對時
: 然後哥哥從靜止出發!
其實雙生子問題，不是指在弟弟的慣性系中，
如何使用時間膨脹的公式，去計算出哥哥和弟弟經歷的固有時。
而是如何在哥哥的加速系中，計算哥哥和弟弟歷經的固有時。
所以如果沒有去處理加速系中的觀點，
那就只是在慣性系中，進行時間膨脹的計算而已。
那如果只是要在慣性系中，比較兩者歷經的固有時，其實不必這麼麻煩。
因為時間膨脹的公式，就已經告訴我們：
運動的鐘歷經的時間dt'和靜止的鐘歷經的時間dt，有r*dt'=dt這個關係，
其中r永遠大於1。
也就是說運動中的鐘，走的比較慢，那當然哥哥會比較年輕。
這其實和加速不加速、加速度的大小、加速作用的時間，沒有關係。
因為時間膨脹的公式裡，顯然沒有加速度的項，只和相對速度大小有關。
但加速度實際上到底有沒有影響，不是這麼想當然爾的ㄧ件事。
因為狹義相對論最初考慮的只是兩慣性系間的變換，
要擴大到加速系與慣性系間的變換，必須有實驗的支持，才有辦法做這種額外的假設。
此外，加速造成的時間效應，主要反映在非慣性系中。
從哥哥的觀點來看，這個加速造成的時間效應非常重要。
它恰恰是回答雙生子問題的關鍵，也解釋了為什麼從哥哥的觀點，
仍應該預期弟弟的鐘會走得比較快。
這裡不論加速過程對弟弟而言有多短，或者加速度是否趨於無窮大，
造成的時間效應都是不可忽略的。(相反地，有著決定性的影響。)
: 0 L1 L2 L1
: 地球 加速階段 速度=C/2 等速階段 速度=C/2 減速階段 速度=0 (去程)
: =============== =============================== =============== 目的地
: 地球 減速階段 速度=C/2 等速階段 速度=C/2 加速階段 速度=0 (回程)
: 我做這個題目時將完全用狹義相對論來做 並且使用
: 首先
: 為了簡化題目 我們加速階段都用等加速度來做 而且我們加減速階段都使用L1作為長度
: 在等速階段 我們用 L2作為長度
: 令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c
: 先計算加速度是多少 2 2
: 1 2 1 (a*t0) (c/2)
: L1=---- a (t0) =---* ------=-------
: 2 2 a 2 a
: => 2
: (c/2)
: a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s)
: 2*L1
: --------------------------------------------------------------------------------
: 並令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等會用到)
: --------------------------------------------------------------------------------
: 現在要先處理弟弟座標系的部分
: 這個地方用等加速度公式就可以了
: 令加速度階段所花時間為t0 等速階段所花時間為t1
: 因為加速等共有4段 等速共有2段 又相同的階段間彼此是對稱的
: 所以結果最後在相加
: 2 2
: L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0)
: =>t0=120s
: L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1
: =>t1=2000s
: 弟弟等哥哥回來所花的時間為
: 4t0+2t1=4480s
: --------------------------------------------------------------------------------
: ps補上公式:[以便最後做比較]
: 4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
: --------------------------------------------------------------------------------
: 現在要處理哥哥的部分
: 這個部分要用到一個觀念
: 那就是所謂"原時"的概念
: 哥哥本身相對於自己是靜止的
: 所以他的時間和弟弟過的時間就不一樣
: 我這裡用t'來當哥哥本身時間的代號
: dt'=√(1-(v^2/c^2))dt
: 我們先用這個公式來計算加速階段所花的時間
: 先考慮第一加速階段
: v=at
: 所以
: dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt
: 那第一階段所花的原時為
: t0
: t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt
: 0
: 做個變數變換
: let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6
: 所以積分式變為
: θ1 2
: ∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1)
: 0
: θ1 2
: =>∫ (c/a) cosθ dθ
: 0
: θ1
: =∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ
: 0
: =(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]
: -------------------------------------------------------
: 再來是等速度階段所花的時間
: 2
: dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt
: t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V)
: 總共花的時間是
: 4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V)
: -------------------------------------------------------
: 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V)
: =2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2))
: =480s[0.9566]+4000*cos(π/6)
: =3923.27s
: ------------------------------------------------------
: 弟弟經過的時間是4480s哥哥經過的時間是3923.27s
: 可見弟弟已經比哥哥還要老了XD
: ------------------------------------------------------
: 最後對兩個結果做個比較
: 這是弟弟的
: 4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
: 這是哥哥的
: 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2]
: -----------------------------------------------------
: 在(0,π/2)區間裡面
: 4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1]
: 又1>cosθ
: 所以弟弟經過的時間比哥哥還多
: ----------------------------------------------------
: 簡單的計算 可以給我們一些啟示 你也可以去調整裡面的參數
: 最後你可以發現到底
: 小弟若有錯誤的地方請大家糾正m(_ _)m
: ----------------------------------------------------
: [1] 用mathematica畫的圖y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2)
: http://ppt.cc/fa!p
: [2]補充說明 在加速度極大之下 也就是a>>1
: 我們可以忽略下面式子的前兩項
: 4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
: 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V)
: 於是又回到
: 2(L2/V)
: 2cosθ1*(L2/V)
: 這個結果上 也就是不用考慮到加速度的效應
: 這個結果化作我們熟悉的形式是
: 2
: 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V)
: 也就是在加速度極大之下我們可以忽略加速度對時間的效應
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