Re: [問題] 相對論問題 雙胞胎
來找個例子算算雙生子題目好了
首先我把題目簡化一下
我們有雙胞胎兄弟兩人
哥哥和弟弟
首先弟弟留在地球上 哥哥比較喜歡冒險
所以他搭乘一艘性能優異的太空船出去外太空旅行
這個時候 我們太空旅行的過程分為
加速階段=>等速階段=>減速階段=== ╗
↓
減速階段<=等速階段<=加速階段=== ╝
為了不使家裡孤單的嫂嫂擔心 所以這趟旅程是一趟很快的旅程
過一下子就回來了
然後這是個假想的實驗
所以跟實際上就不要太計較了
出發那一刻 兄弟倆拿著相同的錶對時
然後哥哥從靜止出發!
0 L1 L2 L1
地球 加速階段 速度=C/2 等速階段 速度=C/2 減速階段 速度=0 (去程)
=============== =============================== =============== 目的地
地球 減速階段 速度=C/2 等速階段 速度=C/2 加速階段 速度=0 (回程)
我做這個題目時將完全用狹義相對論來做 並且使用
首先
為了簡化題目 我們加速階段都用等加速度來做 而且我們加減速階段都使用L1作為長度
在等速階段 我們用 L2作為長度
令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c
先計算加速度是多少 2 2
1 2 1 (a*t0) (c/2)
L1=---- a (t0) =---* ------=-------
2 2 a 2 a
=> 2
(c/2)
a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s)
2*L1
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並令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等會用到)
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現在要先處理弟弟座標系的部分
這個地方用等加速度公式就可以了
令加速度階段所花時間為t0 等速階段所花時間為t1
因為加速等共有4段 等速共有2段 又相同的階段間彼此是對稱的
所以結果最後在相加
2 2
L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0)
=>t0=120s
L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1
=>t1=2000s
弟弟等哥哥回來所花的時間為
4t0+2t1=4480s
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ps補上公式:[以便最後做比較]
4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
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現在要處理哥哥的部分
這個部分要用到一個觀念
那就是所謂"原時"的概念
哥哥本身相對於自己是靜止的
所以他的時間和弟弟過的時間就不一樣
我這裡用t'來當哥哥本身時間的代號
dt'=√(1-(v^2/c^2))dt
我們先用這個公式來計算加速階段所花的時間
先考慮第一加速階段
v=at
所以
dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt
那第一階段所花的原時為
t0
t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt
0
做個變數變換
let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6
所以積分式變為
θ1 2
∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1)
0
θ1 2
=>∫ (c/a) cosθ dθ
0
θ1
=∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ
0
=(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]
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再來是等速度階段所花的時間
2
dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt
t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V)
總共花的時間是
4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V)
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2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V)
=2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2))
=480s[0.9566]+4000*cos(π/6)
=3923.27s
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弟弟經過的時間是4480s哥哥經過的時間是3923.27s
可見弟弟已經比哥哥還要老了XD
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最後對兩個結果做個比較
這是弟弟的
4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
這是哥哥的
2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2]
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在(0,π/2)區間裡面
4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1]
又1>cosθ
所以弟弟經過的時間比哥哥還多
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簡單的計算 可以給我們一些啟示 你也可以去調整裡面的參數
最後你可以發現到底
小弟若有錯誤的地方請大家糾正m(_ _)m
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[1] 用mathematica畫的圖y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2)
http://ppt.cc/fa!p
[2]補充說明 在加速度極大之下 也就是a>>1
我們可以忽略下面式子的前兩項
4(c/a)sinθ1+2(L2/V)
2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V)
於是又回到
2(L2/V)
2cosθ1*(L2/V)
這個結果上 也就是不用考慮到加速度的效應
這個結果化作我們熟悉的形式是
2
2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V)
也就是在加速度極大之下我們可以忽略加速度對時間的效應
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標題 [新聞] 一射精就變盲人!怪病男就醫求援
時間 Tue Nov 30 18:01:17 2010
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◆ From: 140.113.68.211
修文加補充
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