Re: [中學] 不要太依賴chatgpt
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言：
: 昨天我有嘗試純粹從座標處理(只看數字1和0)，
: 剛剛看到有人貼AI的解法，似乎有點雷同，
: 但是我的作法還是多了一些論證，不是純土法煉鋼硬列舉
: 依照正方體空間的點分布，由低到高分別為：
: 第一層(100)：只有1個1的點集合，共3點
: 第二層(110)：只有2個1的點集合，共3點
: 第三層(111)：有3個1的點集合，共1點
: 高層點與低層點內積 <= 低層點1的個數 => 本題計算出的內積值 <= 2
: 每層挑2相異點作內積 < 該層點1的個數
: 由上面兩條自然限制，可以對本題內積值作進一步分類
: (1)內積值 = 2：
: (111)配(110)：3種，狀況已用完
: (2)內積值 = 1：
: (111)配(100)：3種
: (110)配(110)：3種
: (110)配(100)：6種
: 期望值 = [2*3 + 1(3 + 3 + 6)]/C(7,2) = 18/21 = 6/7
: 思考邏輯對了，其實剩下來就加法問題
: 高中排列組合有一大塊是教高中生怎樣有系統的分類和計數
: 有系統表示有邏輯、不容易錯，
: 列舉也有分無腦列舉和有想法分類列舉。
: 就算是無腦列舉，也不是每個人真的都有辦法萬無一失全部列舉得出來
: 有些沒那麼特殊對稱的情況下還是得用上列舉，
: 所以不必一味排斥。
: 像這題直接從空間幾何看可以很簡單判斷最多有哪些內積需要計算，
: 我是比較偏向從空間下手。
: 另外，你一值強調P和C，對本題最終結果只差在分子分母約分2!，
: 你用P增加複本，都除以2!，就會和C一樣，因為本題不允許相同向量對自己內積
: 固然用P計算好像能幫你避免掉一些前置的分類列舉，
: 但你還是要扣掉一些狀況不是嗎？
: 尊重你的作法，
: 不過根據題意，樣本空間C(7,2)還是一般人比較直接的想法
: ※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：
: : https://chatgpt.com/share/695b957c-ffe8-8008-97fb-d5a6cc3ba798
: : 感謝你幫我抓出GPT把計算過程寫錯了
: : 好喔，你認為我靠GPT解題作秀，
: : 我就附上我叫GPT潤飾的完整過程
: : 以及講解給你聽:
: : 基本上這題，如果對正立方體座標化
: : 很容易可以看出，內積的值決定在P和Q x,y,z分量皆為1的個數
: : 如此一來，我可以這樣分析
: : (1) 恰1個分量都為1
: : 共有C(3,1) * (P(4,2) - C(2,1) *2) = 3 * (12 - 2*2) = 3 * 8 = 24
: : 第1個C(3,1)是x,y,z取一個分量
: : 接著把剩下2個分量，視為binary string: 00, 01, 10, 11
: : 因為P、Q相異，所以我們可以把這4個取出2的相異的(用排列)
: : 然後要避開有其中1位同時為1的，這可以從剩下2分量，取1個分量，
: : 然後最後一個分量可以有 第一個為0，另一個為1，或第一個為1，另一個為0，共2種
: : 舉例: x分量都為1
: : P Q (y,z)可以從(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)：選2個不同的當作P Q的剩下2個分量
: : 像是:
: : P(1, 0, 0)
: : Q(1, 0, 1)
: : 但這要排除像是這樣:
: : P(1, 1, 0)
: : Q(1, 1, 1)
: : 因為這組會讓內積為2
: : 但這樣算就等同把
: : P(1, 0, 0) Q(1, 0, 1)
: : 和
: : P(1, 0, 1) Q(1, 0, 0)
: : 視為不同的
: : 如此一來，樣本空間不應是C(7,2)，而應該是P(7,2)
: : (2) 內積為2
: : 這反而比Case (1)單純，只需要這樣算: C(3,2) * 2 = 3 * 2 = 6
: : 理由:
: : 從x,y,z選2個分量，指定他們為1，放進P、Q對應位置
: : 因為希望P、Q相異，所以一樣0和1的指定有2種選擇
: : 例如:
: : (1, 1, 0) => P
: : (1, 1, 1) => Q
: : (1, 1, 1) => P
: : (1, 1, 0) => Q
: : (3) 內積為3 => 必須要P、Q都是(1,1,1)，但題目要求取出相異兩點，所以不可能
: : 所以期望值就是:
: : 24/P(7,2) * 1 + 6/P(7,2) * 2
: : = 24/42 * 1 + 6/42 * 2
: : = 4/7 * 1 + 1/7 *2
: : = 4/7 + 2/7
: : = 6/7
: : 答案無誤
: : 這也給我們一個教訓:
: : 不要相信AI的算術能力
: : AI的算術往往會有奇怪的地方
: : 還有就是:
: : 的確啦，我這種解法還不夠漂亮
: : 的確不是最佳解
: : 但這應該已經是比較能夠平民化，
: : 靠著做一般參考書基本題，想到的快速解法了
: : 很多老師教排列組合和機率的時候
: : 往往講不清楚: 為什麼這時候樣本空間要用排列? 為什麼這時要用組合? 為什麼都可以?
: : 這題就是最好的示範:
: : 如果你沒像最佳解那種想法，使用C(7,2)當樣本空間，
: : 就會像很多市面上的解答，和網路解題老師的答案
: : 要把情況分的很多，少考慮一種就GG了~~~
: : 如果因為計算錯誤就認為這個想法錯...
: : 其實這也透露出讀者的理解力在哪...
: : 說真的，我承認我的文字表達能力不好，
: : 所以會用GPT修飾我的文字，希望能簡短好懂一點
: : 我那時只檢查他有沒有把我的語意和邏輯弄錯
: : 沒有細看GPT算術有沒有寫錯是我的疏失
: : 但這解法基本上方向和手段都正確無誤，且不複雜
: : 如果有人沒辦法理解，記得去複習高中排列組合和機率吧
: : 因為我的過程都是基礎題用到的
我理解您的意思，
也知道您的解法有做到有系統，
並且不只是單純硬列舉。
我前面提到P 和 C，
並不是在討論哪一個「比較好」，
也不是否定用 C 當樣本空間的直覺作法。
我真正想強調的，其實是一個排列組合解題時的常見誤區（尤其對初學者）：
很多時候，學生會先入為主地想：
「這題應該用 C 還是 P」，
然後嘗試用自以為合理的方式硬湊乘法或加法。
這種方式容易讓人沒有真正理解題目結構，
導致出錯不知道關鍵點，
也難以從例題中獲得成長。
我認為剛開始學理想的做法(特別是排列組合比較不在行的)，
應該是先列舉部分情況、觀察規則與結構，
再思考使用哪種策略能系統化、減少錯誤、兼顧效率。
以這題為例，我從「機率 × 報酬」的期望值角度出發，
因此選擇最後用 P，使得事件扣除方法簡單、單純。
但我也同意，
從內積總和或總次數出發，
用 C(7,2) 的確更直觀，也符合多數人的思路。
我認為核心重點在於：
這些解法的產生，
並非一開始就先決定「應該用 P 還是 C」，
而是先觀察列舉結果，再依照結構與過往經驗選擇策略。
這個過程在大多數題目中對大多數不夠強的人是必須的，
除非你對題目非常熟悉，才能直接跳過。
舉個對比例子：
114 年學測數 A 單選第 3 題：
某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演5個、小提琴表演4個、歌唱表演3個
等三類表演共12個不同曲目。
該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。
試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
這題就是很經典的那種把某一群視為一類(就是相鄰的先綁在一起)，
先把組別照要求排列後， 再各自做直線排列
若是我，我可能會這樣解:
C(2,1) * 2! * 5! * 4! * 3!
因為第一位只要排鋼琴或小提琴，即可滿足"歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後"
接著就剩下一個與歌唱在剩下兩位直線排列
剩下的是基本例題都有的，不贅述
要分類成符合: 歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後
我想方法每個人都不一樣
例如也可用扣的，扣除歌唱排在第一組
甚至可以直接窮舉
重點在於理解題目結構，
然後選擇清楚、有效率的方法解決，而不是先決定公式或方法。
因此，我的主要想法不是在比較誰的解法好壞，
而是想提醒：
在排列組合與機率題中，
方法的選擇應該基於對題目結構的觀察，
而非先決定用哪個公式。
只要分類清楚、容易理解、錯誤率低，任何方法都是合理的。
我分享這些，只是個人的學習心得，
希望對後進學生在學習排列組合時有所幫助，
避免重蹈過往一些容易踩到的學習雷區...
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