Re: [中學] 不要太依賴chatgpt

看板Math作者yueayase (scrya)時間23小時前 (2026/01/11 12:04)推噓1(1推 0噓 7→)

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※ 引述《AquaCute (水色銅碲)》之銘言： : ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言： : (恕刪) : : 如果我沒有誤會你的思路的話， : : 這一步邏輯似乎有問題。 : 我覺得原原po的解法思路沒問題就"X軸內積"這個說法不好 : 兩向量OP(x_1, y_1, z_1)和OQ(x_2, y_2, z_2)的內積是 : x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 : 因此兩向量內積的期望值 : E(OP．OQ) = E(x_1*x_2) + E(y_1*y_2) + E(z_1*z_2) : = 3*E(x_1*x_2) (因為三軸對稱) : 而x_1*x_2只有在兩向量x軸分量皆為1時=1 其餘狀況=0 : 兩向量x軸分量皆為1的機率 = 4*3/7*6 = 2/7 故所求=6/7 : : 首先你以x軸為例， : : 就表示以編號1為P，拿OP去和其他向量作內積 : : 這時候會和OP內積為1的只有Q在編號2、3、4的位置(題設P =/= Q) : : 也就是只有3種選擇， : : 你用C(4,2)就很奇怪，這時P怎麼能變動？ : : 再說O3向量和 O4向量的內積是2！不是1！ : : 我的作法是除了O和編號3之外，其餘再分成地位相同的兩群 : : [0 + (2 + 0) * 3 + 1 * 3 + 2 * 3 + 1 * 3]/C(7, 2) : : = 3 * [2 + 1 + 2 + 1] / 21 : : = 18/21 = 6/7 : : 雖然就算式而言可以寫成3 * ()， : : 但是計數時的地位不一樣， : : 不會貿然直接乘以3 : 我覺得AI沒有不好我解板上的題目也會先丟ChatGPT試試看 : 低機率花一分鐘就得到自己想半小時才想到的思路 : 題外話最近讀GSLin的部落格看到Stack Overflow的提問數統計 : ChatGPT出現後提問數從每個月87543跌到現在的3862...... : https://data.stackexchange.com/stackoverflow/query/1926661#graph 倒是因為這個機會，正好遇到有人分享一個非常漂亮的解法(非我能力所及) 一樣是用座標化的觀點，但他利用了以下向量內積的基本公式： → → → → → 2 → → → 2 (u + v)‧(u + v) =| u | + 2u ‧v + | v | 如此一來，可以把原先7種向量: (0,0,1)(0,1,0)(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1) 全部相加後，自己和自己內積，然後扣除這些向量長度的平方 → → 就可以得到2u ‧v，也就是所有可能內積值的加總 * 2 意思大約是這樣: → → → u1 = (0,0,1), u2 = (0,1,0), .... ,u7 = (1,1,1) → → → → → → (u1 + u2 + ... + u7) ‧ (u1 + u2 + ... + u7) → 2 → 2 → 2 → → =|u1| + |u2| + ... + |u7| + 2Σui‧uj 乍看之下，似乎要像我一樣列出上述7個向量老實相加得(4,4,4) 但實際上不用列出來，因為可以這樣觀察: 舉x分量為1為例，x分量為1的，應該可看出全部落在某一面正立方體的4個頂點上所以x分量相加為4，其他同理而那7個向量內積平方的結果只有3種可能: (i) 內積為1 => 恰一分量為1 => 有C(3,1) = 3種可能 (ii) 內積為2 => 恰2分量為1 => 有C(3,2) = 3種可能 (iii) 內積為3 => 3個分量都為1 => 有C(3,3) = 1種可能(這很trival，直接列出來就好) 如此一來，先前的想法變成： → → (4,4,4)‧(4,4,4) = 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 1 + 2Σui‧uj → → => 48 = 3 + 6 + 3 + 2Σui‧uj → → => 2Σui‧uj = 36 → → => Σui‧uj = 18 接著用期望值的: 總獎金/總次數概念，可得期望值 = 18/C(7,2) = 18/21 = 6/7 漂亮的點: 雖然看似是把所有座標列出來，要寫7*7=49個向量，實際上： (1) 內積總和可以用幾何觀念快速看出來 (2) 7個向量長度，實際上只需要用先前的分類方式，數量配合基本的組合觀念就可以算了 (3) 計算量不大，且把那21種可能的加總，用簡潔的方式計算出來回到排列組合的本質：列舉就好了? 為什麼要弄這些C幾取幾? P幾取幾? 排列、組合、分堆、分組...? 用下去之後，常常會出現那種: 啊文字敘述這裡寫這樣，為什麼這題要除以2? 那題要乘以2? 這次又不用了? 為什麼分情況要這樣分? 我這樣為什麼不行? 我以前剛開始學會有這些問題，後來我發現剛開始學應該要做的正是：先列舉你不自己根據題意列舉看看，看看他的pattern應該長怎樣，就會淪落到那種：我用這樣的中文解釋"好像"說得通啊，可是為什麼我的解法是錯的? 面對自己不了解、看不懂解法的題目，老實說真的就一句話：先列舉一部分出來看就對了，列舉足夠多，就可以看出規則這就回應到很多學生(包含我在學生時代剛開始學)學排列組合無法掌握的問題：既然能列舉看出來，何不這樣做? 老實說，以解題答對來說，如果題目的情況允許，當然沒問題但通常就是那些老師、補習班給的例題，一定會有不少不能這樣做的這些不能做的原先是排列組合課程希望能傳達的精神而做的設計但往往因為缺乏良好的表達方法和機制，導致學生大多難以真正掌握為什麼要那樣分? 那樣解? 但諷刺的是，課堂往往老師沒有時間全部劃給你看，學生往往有惰性，簡單題不畫就答對了，進階題就想說不畫了，靠我的"國文"理解去想，然後往往就是中槍，答錯很多，產生挫折感，然後就學不好了... 因此，我想表達的是: 解沒看過的排列組合題，本來就應該先列舉看看，然後再觀察有沒有規律，讓我們可以用學過的基本技巧解這些漂亮的解法，要完全理解，多少需要這樣做，才會有這些靈感... 漂亮的解法和排列組合的技巧，不過就是幫你把後續需要無腦列舉的過程簡化而已 (當然要用得好，像是翰林雲端學院那個分那麼多情況，然後C(3,1)...做啥的我第一時間就覺得：啊還不如直接列舉... ) 還要有個觀念：排列組合的計數技巧，並不能用來簡化：必須全部列出的場合(像是我如果真的要列出1~9的所有排列的pattern長怎樣) 他簡化的是: 我如何用更有效率的方式，讓我能快速找出這些全部排列組合的"總數"為何? 我相信如我版上有些人接觸一點點coding contest 有些題目的優化方法，應該可以讓諸位了解我想表達的 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 93.152.210.167 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1768104264.A.4E3.html ※ 編輯: yueayase (93.152.210.167 美國), 01/11/2026 12:08:00 ※ 編輯: yueayase (93.152.210.167 美國), 01/11/2026 12:08:41

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