Re: [中學] 不要太依賴chatgpt
※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：
: : 推 solumate : 你的解法跟窮舉的麻煩程度已經相差無幾了，甚至窮 01/10 1
3:
: : → solumate : 舉可能還更快一點。沒有價值的解題方式，還一直堅 01/10 1
3:
: : → solumate : 持敝帚自珍。自己都唸到休學了，還不知道自己多少 01/10 1
3:
: : → solumate : 斤兩？想教人家數學喔？ 01/10 1
3:
: 我必須強調
: 我分享解法並非為了炫技
: 我們可以看看網路上找到的各家對於學測112數A，單選第6題的解法:
: 翰林雲端學院:
: https://reurl.cc/ORgnDX
: Yadis 數學專欄:
: https://drive.google.com/file/d/16-WAX3GbuEKzKH7Gbe0ynxUuOmnFYWQs/view
: 鄭奇數學:
: https://reurl.cc/Db7EDR
: 巫老師高中數學:
: https://top1tutorinasia.com/112-college-entrance-exam-math/.html
: 李華介教授:
: https://math.ntnu.edu.tw/~li/108/112A.html
: 霧島簡評112學測數學A:
: https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=5658736
: 看出來了嗎?
: 很多解法(例如上述連結前4個)根本就是全部列出來，
: 列出來的全部都是以C(7,2)當樣本空間在考慮
: 李華介教授因為說明簡短，不知道他怎麼優化細節，
: 因此，我難以判斷他是否也是分類後，全部列出來考慮，
: 但他提出了內積和，有點像是期望值可用:
: 總獎金/總次數 計算的概念
: 唯一提出用C(7,2)當樣本空間解法的霧島，
: 他在提出這個最佳解時，前面也是全部列舉給你看
: 而那個最佳解仔細看有一句很值得玩味:
: 其中重複選取的AF、AG...
: 他這句很曖昧的表示了:
: 我用某種方式合併之後，最後分子正好就是3*C(4,2)
: 很難說到底是看了列舉完21個後，歸納出來的心得
: 還是他一開始真的腦中能很清楚的"心算"自動合併
: 這也回應到我一開始發表解法的初衷：
: 把P、Q兩座標視為無序的，當樣本空間，
: 似乎不大容易用先前排列組合和機率的基本技巧組合起來計算
: 我自己的解法為什麼不是真的列出P(7,2)種，以及C(7,2)種所有可能
: 再分很多類(甚至不分了，直接列出來)?
: 很簡單，我心裡有這種圖像概念:
: 選其一分量指定都為1 X 剩下2分量不要出現有同時為1的情形
: P(1,x,y)
: Q(1,u,v)
: 剩下2分量不要出現同時為1，我自己認為有扣得比較直接點
: 有出現同時為1的不就是剩下選1位都指定該位是1，剩下的座標讓2個相異就好
: 然後C(2,1)*2就跑出來了
: 至於(x,y) (u,v)相異，想像他是binary string，大約就是可以想成取出00,01,10,11
: 相異給這2個，有P(4,2)
: 我腦中有這些想像，也不用把12種全部列舉出來，確認後面那一個:
: 剩下2分量不要出現有同時為1的情形
: 確認可以和前面指定為1的部分，
: 類似排列組合一開始乘法原理樹狀圖的"配對"方式表示
: 我就很肯定:
: 恰1個分量都為1的排列組合樹可以長這樣:
: 選其一分量指定都為1 X 剩下2分量不要出現有同時為1的情形
: P(1,x,y) (x,y)=(0,0)
: X
: Q(1,u,v) (u,v)=(1,1)
: 以上是舉例，
: 注意: 我舉例不需要舉出所有可能，只需要有個示意圖，然後保證邏輯正確即可
: C(3,1) X (P(4,2) - C(2,1) *2)
: 就這樣生出來了
: 其他情況我就不贅述，特別是內積為0的，算期望值時根本不會貢獻，不用算
: 同時，藉由這種分析方式發現:
: 我不應該選C(7,2)當樣本空間，應選取P(7,2)才對
: 這就是我當初發表文章分享解法希望傳達的
: (其實為什麼原先C(7,2)可以用P(7,2)?
: 這個道理很簡單: 因為選用P(7,2)頂多把原先那個無序的，多copy一份出來
: 計算後，仍然符合原先等機率的假設，
: 這正好就是以前老師常說的: 選C(7,2)和P(7,2)當樣本空間都可以的理由
: )
: 過程中，我只要腦中大概有那個樹狀圖"大概的"圖像概念即可，
: 只需要邏輯上真的可以變成那樣，"完全不需要"一個一個列出來
: 這就是學習排列組合那些技巧的真正精神
: 我接下來引用以上連結李華介教授的評論:
: 前面所提，相信一般高分組的同學都理解，也相信是用前述的坐標表法處理。
: 令人不解的是
: 7個向量選兩個相異的向量內積，
: 也僅有21種選取方式，
: 為何高分組僅有的55%答對率呢？
: 或許對於處理排列組合的問題，我們應該再次強調如何用分類的方式有系統的計數，
: 而不是一再的練習一些特殊的解法。
: 關鍵字: 分類、有系統的計數
: 我想原PO大約沒有理解到:
: 排列組合所學的計數技巧，主要目的就是:
: 有系統性的計數、避免需要一一列舉
: 因此，他似乎難以理解我這種解法，到底跟真的全部列舉出來的差別在哪?
: 但我要提醒一個觀念:
: 大考主要還是要有辦法答對，所以用列舉的方法是OK的
: 重點是要避開: 沒有考慮清楚地多算和少算
: 這題如果以C(7,2)當樣本空間，才21種，的確列舉以考試拿分而言是可行
: (但前提是要有空間書寫...)
: 然而，比較之下，
: 可以看出我的方法，並不需要分太多種類，
: 更不需要真的(0,0,0)(0,0,1) ... (0,0,1)(1,1,1)
: 列出這些長相才能計算，
: 只需抓到可以拆解成以往所學排列組合基本技巧的那種正確的"樹狀圖"的長相即可
: 呼應到李華介教授所言，
: 學那些概念，本來目的就是:
: 希望在不需要一一列舉的情況下，
: 可以有效率地計算出總共的排列組合數
: 個人認為，
: 我這個方法雖然還不到能夠用1~2行算式就能解決
: 但已經有達到充分利用排列組合技巧、沒有用太多過於特殊的技術去解了
: 而且過程中沒有那種需要"大量"列舉、分類的動作
: 我認為這個解法已經足以讓高中生參考和學習
: 如果因為我為了講解，寫很多字、舉很多例子，
: 居然被認為我的作法 = 窮舉，
: 根本不是一題平均5分鐘內，可以想到、比列舉還快的作法，
: 我也很無奈啊...
: 我真的要炫技，直接把有計算的算式列出來，
: 看起來短短的很厲害就好，
: 何必花這麼多篇幅+解釋?
: 我原先立意良善的意圖，居然被這樣負面解讀，
: 我也感到十分無奈...
: 此外，
: 我也有帶過一些學生的經驗(大多無償)，
: 很多人就像事主一樣:
: 為什麼我要學那些有的沒有的技巧?
: 直接暴力展開去算就好了啊?
: 其實，這點在教學現場常常感到很無奈，
: 因為大多數學生難以理解，用這些更好的方式，
: 到底可以幫助他們在考試上贏得多少分?
: 對於沒有辦法馬上吸收和理解的學生們，
: 真的看過不少像是:
: 要計算畢氏定理斜邊長，寧可一個一個平方展開，在相加
: 也不願意學先提出公因數，然後用常見畢氏組數快速求解的
: 在他們心中，多學一個方法 = 額外增加的負擔(無誤)
: 我想數學不好其實是大多數人都會出現的議題，
: 但大家都知道，很多時候生活中不需要用到太多數學技巧
: 數學不好並不是什麼很需要自卑的事情，
: 但網路上偶爾有些人把數學好壞的優越感，
: 當作某種不知道要表達自己哪裡多好的工具
: 太過功利主義的結果，往往很難在學數學的過程碰到這種挫折，
: 持續撐下去把內容學會
: 這件事是正常現象，大多數人都多少會碰到這種撞牆的時期，
: 但有些人整天把目光焦點放在結果上，
: 以人性來講，沒有多少獎勵的東西，難以吸引人...
: 正常但卻諷刺，也影響了不少學子學習數學的成果(物理似乎也差不多...)
: 反正常聽到那種: 學這個要幹嘛，我會算數就好了...
: 我最後都不想去回答什麼
: 因為世界上真的不用數學的事情很多，不用去較真啦...
: 回想當初我學排列組合時，不懂解法
: 一開始就慢慢自己列舉看看，在觀察跟算法的關聯性，
: 雖然一開始學習進度很緩慢，看來無意間抓到正確的學習方式了
: 我也對此感到驕傲
: 畢竟能克服自己以往不會的東西的成就感，
: 不需要向別人特別證明什麼...
回應一下gemini3的解法
這是一道關於空間向量與期望值的數學問題。我們可以透過建立空間坐標系，並列舉所有
可能的內積情形來求解。
解題思路
1. 建立坐標系
考慮邊長為 1 的正立方體，我們可以將固定頂點 O 設為原點 (0,0,0)。
其餘 7 個頂點的坐標由 0 和 1 組成（不包含原點本身）。這 7 個點可以依據「含 1
的個數」分類：
* A 組（含一個 1）： (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，共 3 個點。
* B 組（含兩個 1）： (1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)，共 3 個點。
* C 組（含三個 1）： (1,1,1)，共 1 個點。
2. 計算樣本空間（分母）
題目要求從這 7 個頂點中「隨機選取相異兩點」P、Q。
總共有 7 個點，任選 2 個的方法數為：
所以，總共有 21 種組合。
3. 計算內積總和（分子）
內積 \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2
。
由於坐標只有 0 或 1，內積的值其實就是兩點**「共同擁有 1 的坐標位置數量」**。
我們將所有可能的 21 種配對情形列出並計算內積總和：
* 情形一：C 組 與 A 組配對（1 點配 3 點，共 3 種）
* P=(1,1,1) 與 Q 為 (1,0,0)、(0,1,0) 或 (0,0,1)。
* 每個配對都有 1 個坐標重疊（內積為 1）。
* 小計：3 \times 1 = 3
* 情形二：C 組 與 B 組配對（1 點配 3 點，共 3 種）
* P=(1,1,1) 與 Q 為 (1,1,0)、(1,0,1) 或 (0,1,1)。
* 每個配對都有 2 個坐標重疊（內積為 2）。
* 小計：3 \times 2 = 6
* 情形三：B 組 互配（3 點取 2 點，共 3 種）
* 例如 (1,1,0) 與 (1,0,1)，重疊的是 x 坐標（內積為 1）。
* B 組任兩點之間都恰好有一個坐標重疊。
* 小計：3 \times 1 = 3
* 情形四：B 組 與 A 組配對（3 點配 3 點，共 9 種）
* 以 B 點 (1,1,0) 為例，它有兩個 1。
* 遇到 (1,0,0) \rightarrow 重疊 1 個（內積 1）
* 遇到 (0,1,0) \rightarrow 重疊 1 個（內積 1）
* 遇到 (0,0,1) \rightarrow 重疊 0 個（內積 0）
* 所以每個 B 點會貢獻 1+1+0=2 的內積值。共有 3 個 B 點。
* 小計：3 \times 2 = 6
* 情形五：A 組 互配（3 點取 2 點，共 3 種）
* 例如 (1,0,0) 與 (0,1,0)，完全沒有重疊坐標（內積為 0）。
* 小計：0
4. 計算期望值
* 所有內積的總和 = 3 + 6 + 3 + 6 + 0 = \mathbf{18}
* 總組合數 = \mathbf{21}
期望值 E 為：
答案
選項 (3) \frac{6}{7}
(進階速解法) 利用期望值的線性性質
如果不逐一列舉，也可以利用對稱性思考：
設 P=(x_1, y_1, z_1)，Q=(x_2, y_2, z_2)。
內積期望值 E[\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}] = E[x_1x_2 + y_1y_
2 + z_1z_2]。
由於 x, y, z 在立方體中是對稱的，所以 E[x_1x_2] = E[y_1y_2] = E[z_1z_2]。
因此總期望值 E = 3 \times E[x_1x_2]。
計算 E[x_1x_2]：
x_1x_2 只有在兩點的 x 坐標皆為 1 時才等於 1，否則為 0。
在 7 個頂點中，x 坐標為 1 的點有 4 個：(1,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)。
從 7 個點選 2 個點，且這 2 個點都在那 4 個點之中的機率為：
所以 E[x_1x_2] = 1 \times \frac{2}{7} = \frac{2}{7}。
總期望值 E = 3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}。
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