[機統] 期望值

看板Math作者 (姿)時間1年前 (2024/08/11 07:35), 1年前編輯推噓6(6推 0噓 14→)
留言20則, 4人參與, 1年前最新討論串11/11 (看更多)
已知r.v.X恆正，n為N，試証： (1) sqrt(E[x]) >= E[sqrt(X)] (2) E[ X^(-n) ] >= E[X]^(-n) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.135.41 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1723332927.A.F76.html
推
08/11 08:23, 1年前 , 1F
確認一下，不能使用"If f is concave, then f(E[X])
08/11 08:23, 1F
→
08/11 08:24, 1年前 , 2F
>= E[f(X)]" 這個性質嗎？
08/11 08:24, 2F
不行ㄟ ※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 09:52:39
推
08/11 10:02, 1年前 , 3F
不能引用 Jensen's Inequality 的話，這問題會變成
08/11 10:02, 3F
→
08/11 10:02, 1年前 , 4F
碰觸滿底層的分析問題喔？
08/11 10:02, 4F
所以才上來問
推
08/11 12:09, 1年前 , 5F
那就重頭證一次 Jensen 不就好了XD
08/11 12:09, 5F
※ 編輯: a4695200 (36.227.135.41 臺灣), 08/11/2024 13:32:32
推
08/11 14:59, 1年前 , 6F
ok 那就是：你看Jensen's Inequality 怎麼被證明的
08/11 14:59, 6F
→
08/11 14:59, 1年前 , 7F
然後證明Jensen's Inequality
08/11 14:59, 7F
推
08/11 17:11, 1年前 , 8F
這邊就Hoelder's inequality吧。第一個甚至只是很
08/11 17:11, 8F
→
08/11 17:11, 1年前 , 9F
簡單的柯西。
08/11 17:11, 9F
→
08/11 17:13, 1年前 , 10F
第一題，左右式的平方差=Var(sqrt(X))。
08/11 17:13, 10F
→
08/12 08:49, 1年前 , 11F
第一個不等式, 用 E[X^2] > (E[X])^2
08/12 08:49, 11F
→
08/12 09:14, 1年前 , 12F
第二題,若 n 為正整數, n > 1 時, 將 X^n-a^n 分解
08/12 09:14, 12F
→
08/12 09:15, 1年前 , 13F
成 (X-a) sum_{k=0~n-1} X^k a^(n-1-k) = (X-a)g(X)
08/12 09:15, 13F
→
08/12 09:16, 1年前 , 14F
X > a 時 g(x) > g(a); X < a 時 g(X) < g(a)
08/12 09:16, 14F
→
08/12 09:17, 1年前 , 15F
故 X^n - a^n >= (X-a)g(a) = na^(n-1)(X-a)
08/12 09:17, 15F
→
08/12 09:17, 1年前 , 16F
取 a = E[X]
08/12 09:17, 16F
→
08/12 09:22, 1年前 , 17F
事實上, n 為正實數, n>1, f(x) = x^n >=(x-a)f'(a)
08/12 09:22, 17F
→
08/12 09:23, 1年前 , 18F
更一般就是 f 為 convex 的情形, 即 Jensen's ineq.
08/12 09:23, 18F
推
08/12 17:23, 1年前 , 19F
突然在想第二題好像也可以用第一題的結果，兩邊平方
08/12 17:23, 19F
→
08/12 17:23, 1年前 , 20F
，取倒數，這樣就是針對所有偶數成立了
08/12 17:23, 20F
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