Re: [微積] 一題積分
: 照著上面說的找出I'(x)後就卡住了，積分無法拿掉，想問問看該怎麼解，謝謝。
:
∞
∫ exp(-t^2 - (9/t)^2)dt
0
exp(-t^2 - (9/t)^2) = exp(-t^2 - (x/t)^2) = I(-x) = exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]}
I'(x) = (-2x/t^2)*exp(-t^2 - (x/t)^2)
= (-2x/t^2)*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]
let u = -t - (x/t), du/dt = -1 + x/t^2
I'(x) = -2*(1-x/t^2)*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]} + 2*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]
dI = 2*exp[(-u^2 + 2x)]du - 2*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]
∫∫I'(x)dxdt = -∫∫2*(1 - x/t^2)*exp[(-t - (x/t))^2 + 2x]dxdt
+∫∫2*exp[(-t - (x/t))^2 + 2x]dxdt
2nd term = 2∫∫I'(x)dxdt
-->∫∫I'(x)dxdt = ∫∫2*(1 - x/t^2)*exp[(-t - (x/t))^2 + 2x]dxdt
= ∫∫2exp(-u^2)exp(2x)dxdu
∞
= exp(2x)∫ exp(-u^2)du = exp(2x)*√π/2
0
∞ √π
∫ exp(-t^2 - (9/t)^2)dt = ∫∫I'(-9)dxdt = ---------
0 2*exp(18)
參照wolframe然後湊答案的
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07/22 16:41,
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