Re: [中學] 遞迴
※ 引述《cheesesteak (牛排‧起司)》之銘言：
: 設無窮數列 a_1, a_2, a_3, ... 滿足
: (n+1)*a_n = 2*a_(n-1) + n - 1, n=2,3,4,...
: 若a_3=5，則下列哪些選項正確？
只有 (2)，(4) 跟 (5) 是對的
: (1)a_4=4
5 a_4 = 2 a_3 + 3 => a_4 = 13/5
: (2)<a_n>不可能有一項的值為1
a_1 = 13， a_2 = 9
a_3 > 1， 設 a_n > 1 ， n > 2 ，
2 n
則 a_{n+1} = ----- a_{n} + -----
n+2 n+2
n+2
> ----- = 1
n+2
因此每一項都大於 1
: (3)a_10 = 2^10/10! - 1
可算出 a_n 的一般項為
2^(n+1)
a_n = 6 * -------- + 1， n = 2,3,4,...
(n+1)!
12 2^10
故 a_10 = ---- ------ + 1
11 10!
: (4)<a_n>中恰有3項為整數
從一般項可看出只有 a_1，a_2,a_3 是整數而已
: (5)<a_n>收斂且lim_n→inf a_n = 1
因為 lim 2^n/n! = 0 ， 故 lim a_n = 1
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06/17 22:25, , 1F
06/17 22:25, 1F
方法大概跟下面 LPH66 大寫得差不多，
令 t_k = a_k - 1 ， k = 1,2,3,... 則
t_n = a_n - 1
= 2/(n+1) * (a_{n-1}-1)
= 2/(n+1) * t_{n-1}
= ...
= 2^n/(n+1)! * 12
故 a_n = t_n + 1 = 6*2^(n+1)/(n+1)! + 1
※ 編輯: Eliphalet (114.46.223.36), 06/17/2015 23:12:51
推
06/17 23:24, , 2F
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