Re: [中學] 整數性質 圓內接四邊形
※ 引述《facebone (骨頭臉蛋)》之銘言：
: 1. a,b,c皆為正整數 且最大公因數為1
: 若1/a+1/b=1/c 證明(a+b),(a-c),(b-c)為完全平方數
令a+b=k,ab=ck,任取質數p
設p^r∥k,p^m∥a,p^n∥b,其中r≧1
=> p|ck=ab => m或n≧1 => m,n≧1 => c不為p倍數
又p^{m+n}∥ab=ck,故p^{m+n}∥k
若m≠n,則p^{min{m,n}}∥a+b=k => m+n=min{m,n},矛盾
故m=n => r=2m => k=a+b為平方數
a-c,b-c同理可證
: 2.圓內接四邊形邊長為25,39,52,60
: 求此圓的半徑
設圓內接四邊形邊長依序為a,b,c,d
四邊形面積
=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
=(1/2)(ad+bc)√{(ab+cd)(ac+bd)/(ad+bc)}/2R
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
其中一條對角線
故
R=(1/4)√{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}/√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
= {--------------------------------------}^(1/2)
(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)
ps. 本題可猜出直徑為65
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.250.52.222
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1406633854.A.DF0.html
※ 編輯: XII (111.250.52.222), 07/29/2014 19:43:47
推
07/29 22:27, , 1F
07/29 22:27, 1F
→
07/29 22:46, , 2F
07/29 22:46, 2F
→
08/04 03:44, , 3F
08/04 03:44, 3F
討論串 (同標題文章)