Re: [中學] 比較10^9和9^10大小
※ 引述《ssss50201 (ssss)》之銘言：
: 有個疑問
: 要怎麼有效率地比較類似10^9和9^10, 13^11, 11^13這類的數字呢？
: 我想僅高於土法一個層次的普通方法就是用相除
: 還是很難分辨大小....
: 有人知道甚麼快狠準的方法嗎？
: 謝謝~~~
設 b > a > 0，且 (b - a) << a，比較 b^a 和 a^b 的大小。
先改寫 b^a = exp[a log b], a^b = exp[b log a]
所以問題變成比較 a log b 和 b log a。
令 b = a(1+x)，則有 0 < x << 1。
再來就是用 a 和 x 代入 b，然後對 x 作展開。
a log b = a log[ a(1 + x) ]
= a log a + a log(1 + x)
= a log a + a ( x + ... )
b log a = a (1 + x) log a
= a log a + x a log a
誰比較大？
a log b - b log a = a (1 - log a) x + ...
當 x 夠小的時候，看第一項就好了。
回家功課：
1. 算出第一項的正負號
2. 第二項什麼時候會跟第一項差不多大？
也就是說，這方法什麼時候不準？
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