Re: [中學] 比較10^9和9^10大小
※ 引述《ssss50201 (ssss)》之銘言：
: ※ 引述《XII (Mathkid)》之銘言：
: 先謝謝您的幫忙^^"
: 只是我不是很follow....
: : 當n≧3
: : (1+1/n)^n = 1+C(n,1)(1/n)+..+C(n,n)(1/n)^n
: : ≦ 1+1+1/(1*2)+..+1/((n-1)n) = 3-1/n < 3 ≦ n
: 第一項和第二項明白 第三項我想是以經讓n跑到無窮大取極限了
沒有取極限...
C(n,k)(1/n)^k = P(n,k)/{(n^k)k!} ≦ 1/k! ≦ 1/k(k-1) = 1/{k-1}-1/k
: 1/((n-1)n這一項根之後就完全不明白了....好像已經取極限 但是後面n又跑出來...
: : => (n+1)^n ≦ n^(n+1) => n^{1/n} ≧ (n+1)^{n+1}
: 左到右整個不明白@_@
同時開n(n+1)次方根
若不想用二項式定理, 也可以用算幾不等式
{n*(n-1)/n + 1*1}/{n+1} > {((n-1)/n)^n}^{1/(n+1)}
=> (n/(n+1))^(n+1) > ((n-1)/n)^n
=> (1+1/n)^(n+1) < (1+1/(n-1))^n
=> (1+1/n)^(n+1) 遞減
=> 若 n≧3, (1+1/n)^(n+1) ≦ (1+1/3)^4 < 4 ≦ n+1
=> (1+1/n)^n < n, n≧3
=> (n+1)^n < n^(n+1),n≧3
=> (n+1)^{1/(n+1)} < n^{1/n}, n≧3
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◆ From: 111.248.8.181
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10/06 13:58, , 2F
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推
10/07 00:48, , 5F
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完整討論串 (本文為第 3 之 8 篇)：
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